Символическая динамика

Символическая динамика — объединяющее название класса динамических систем, для которых точками фазового пространства являются последовательности в некотором конечном алфавите «символов», а отображение заключается в сдвиге последовательности на один символ влево.

Простейшими примерами являются сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова. Символическая динамика также возникает при рассмотрении отображения судьбы.

Базовые примеры

Сдвиг Бернулли

Схема левого сдвига Бернулли $\omega'=\sigma(\omega)$ над пространством $\Sigma_2$ двусторонне-бесконечных последовательностей из нулей и единиц

Пусть $\Sigma_s^{+}$ — пространство последовательностей в алфавите $\{1,\dots,s\}$, то есть,

$\Sigma_s^{+}=\{(\omega_j)_{j=1}^{\infty} \mid \forall j \quad w_j\in \{1,\dots,s \} \}.$

Cдвигом Бернулли называется динамическая система $(\Sigma_s^{+},\sigma)$, где $\sigma$ — отображение левого сдвига,

$(\sigma(\omega))_j=\omega_{j+1}. \qquad (*)$

Также рассматривают отображение левого сдвига на пространстве двусторонне-бесконечных последовательностей

$\Sigma_s=\{(\omega_j)_{j=-\infty}^{\infty} \mid \forall j \quad w_j\in \{1,\dots,s \} \};$

получающуюся динамическую систему $(\Sigma_s,\sigma)$ также называют сдвигом Бернулли. При необходимости, для уточнения, какая из систем имеется в виду, называют первую систему односторонним сдвигом Бернулли, а вторую двусторонним.

Сдвиг Маркова

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Отображение судьбы

В случае, если фазовое пространство динамической системы разбито в объединение непересекающихся множеств,

$X=\bigsqcup_{i=1}^N B_j,$

любой точке $x\in X$ может быть поставлена в соответствие её судьба — последовательность номеров множеств, которые посещает её орбита:

$x\mapsto (i_k), \quad f^k(x)\in B_{i_k}. \qquad (*)$

При этом для необратимых динамических систем последовательность $(i_k)$ односторонняя, т.е. $k=0,1,2,\dots$, а для обратимых систем обычно рассматривают двусторонне-бесконечные последовательности, $k\in\Z$.

Отображение $h: X \to \Sigma_N$ или $h: X \to \Sigma_N^+$, заданное формулой (*), называется отображением судьбы (соответствующим данному разбиению фазового пространства). Такое отображение автоматически удовлетворяет соотношению

$h\circ f = \sigma \circ h.$

Хотя отображение судьбы априори не является ни сюрьективным, ни инъективным, ни непрерывным, оно часто применяется при построении сопряжений либо полусопряжений различных отображений. В случае, когда отображение судьбы инъективно, говорят о символическом кодировании динамики — поскольку применение отображения такая «замена координат» превращает в динамику на символическом пространстве $\Sigma_N$ или на его части.

Свойства

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Примеры

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Инвариантные меры

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Литература

• П. Биллингслей, Эргодическая теория и информация.
• В. И. Арнольд, Д. В. Аносов, Ю. С. Ильяшенко, и др., Динамические системы-1, ВИНИТИ.
• А. Б. Каток, Б. Хасселблат Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1