Логистическое уравнение

Логистическое уравнение, также известное, как уравнение Ферхюльста (по имени впервые сформулировавшего его бельгийского математика), изначально появилось при рассмотрении модели роста численности населения.

Исходные предположения для вывода уравнения при рассмотрении популяционной динамики выглядят следующим образом:

• скорость размножения популяции пропорциональна её текущей численности, при прочих равных условиях
• скорость размножения популяции пропорциональна количеству доступных ресурсов, при прочих равных условиях. Таким образом, второй член уравнения отражает конкуренцию за ресурсы, которая ограничивает рост популяции.

Обозначая через $P\,$ численность популяции (в экологии часто используется обозначение $N\,$), а время — $t\,$, модель сводится к дифференциальному уравнению:

$\frac{dP}{dt}=rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)$,

где параметр $r\,$ характеризует скорость роста (размножения), а $K\,$ — поддерживающую ёмкость среды (то есть, максимально возможную численность популяции). Исходя из названия коэффициентов, в экологии часто различают^{[уточнить]} две стратегии поведения видов:

• $r\,$-стратегия предполагает бурное размножение и короткую продолжительность жизни особей
• а $K\,$-стратегия — низкий темп размножения и долгую жизнь.

Логистическая кривая для K=1 и P₀=0,5

Точным решением уравнения (где $P_0\,$ — начальная численность популяции) является логистическая функция, S-образная кривая, (логистическая кривая):

$P(t) = \frac{K P_0 e^{rt}}{K + P_0 \left( e^{rt} - 1\right)}$

где

$\lim_{t\to\infty} P(t) = K.\,$

Ясно, что в ситуации «достаточного объёма ресурсов», то есть пока P(t) много меньше K, логистическая функция поначалу растёт приблизительно экспоненциально:

$\frac{P(t)}{P_0 e^{rt}} = \frac{K}{K + P_0 \left( e^{rt} - 1\right)} = \frac{1}{1 + \frac{P_0}{K} \left( e^{rt} - 1\right)}$

Аналогично, при «исчерпании ресурсов» (t → ∞) разность $K - P(t)$ экспоненциально убывает с таким же показателем.

Почему Ферхюльст назвал уравнение логистическим, остается неизвестным. В 1924 году Раймонд Перл применил уравнение для описания автокаталитических реакций.

Дискретным аналогом логистического уравнения является логистическое отображение.

Литература

• Verhulst, P. F., (1838). Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement. Correspondance mathématique et physique 10:113-121.
• Verhulst, P. F., Recherches Mathématiques sur La Loi D’Accroissement de la Population, Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, 18, Art. 1, 1-45, 1845 (Mathematical Researches into the Law of Population Growth Increase)

См. также

• Модель Лотки — Вольтерра
• Сигмоид
• Логистика