Числа Бернулли

$\displaystyle{B_0=1}$

$B_1=-\frac12$

$B_2=\frac16$

$\displaystyle{B_3=0}$

$B_4=-\frac1{30}$

$\displaystyle{B_5=0}$

$B_6=\frac1{42}$

$\displaystyle{B_7=0}$

$B_8=-\frac1{30}$

$\displaystyle{B_9=0}$

$B_{10}=\frac5{66}$

$\displaystyle{B_{11}=0}$

$B_{12}=-\frac{691}{2730}$

$\displaystyle{B_{13}=0}$

$B_{14}=\frac76$

$\displaystyle{B_{15}=0}$

$B_{16}=-7\frac{47}{510}$

$\displaystyle{B_{17}=0}$

$B_{18}=54\frac{775}{798}$

$\displaystyle{B_{19}=0}$

Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел $B_0, B_1, B_2, \dots$, впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:

$\sum_{n=1}^{N-1} n^k=\frac1{k+1}\sum_{s=0}^k C_{k+1}^s B_s N^{k+1-s}$, где $C_n^m$ — биномиальный коэффициент, то есть $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$.

Рекуррентная формула

Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:

$\displaystyle{B_0=1\; ,}$

$B_n=\frac{-1}{n+1}\sum_{k=1}^n C_{n+1}^{k+1} B_{n-k},\quad n\in\mathbb{N}.$

Свойства

Написана в 1713 г.

• Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме ${\textstyle{B_1}}$, равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
• Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли ${\textstyle{B_n(x)}}$ при ${\textstyle{x=0}}$:

$\displaystyle{B_n = B_n(0)\;.}$

• Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например:
  • Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:

    $\frac x{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n, |x|< 2\pi$,

  • $x\;\operatorname{ctg} x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi$,
  • $\operatorname{tg} x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi/2$.
• Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при четных s = 2k:

$B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}.$

Отсюда следует:

$\displaystyle{B_n=-n\zeta(1-n)}\;\;$ для всех n.

• $\int\limits_0^\infty \frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac1{4n}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots.$

Получение чисел Бернулли из дзета-функции Римана.

Литература

• Абрамович В. Числа Бернулли // Квант. — 1974. — № 6. — С. 10-14.

Ссылки

• Генератор Чисел Бернули