Функционал Минковского

В функциональном анализе, функционал Минковского использует линейную структуру пространства для введения топологии на нём.

Определение

Для любого векторного пространства X (вещественного или комплексного) и его подмножества K определим функционал Минковского

$\ \mu_K:X \rightarrow [0, \infty)$

как

$\mu_K (x) = \inf \left\{r > 0: x \in r K \right\}.$

Предполагается, что 0 ∈ K и множество {r > 0: x ∈ r K} непусто. При дополнительных условиях на K функционал будет обладать свойствами полунормы, а именно:

• Из выпуклости и симметричности $K$ следует субаддитивность $\mu_K$, т.е.

  $\ \mu_K (\alpha x + \beta y) \le \alpha \mu_K (x) + \beta \mu_K (y)$

• Однородность (μ_K(α x) = |α| μ_K(x) для всех α) достигается, если K - сбалансироанное множество, т.е. α K ⊂ K для всех |α| ≤ 1.

Свойства

Функционал Минковского можно использовать для задания топологии в пространстве, так как для выпуклых замкнутых множеств K, содержащих 0, он обладает свойствами полунормы. Он также позволяет установить соответствие (одно из проявлений двойственности Минковского) между множествами в X и X^*, так как обладает свойствами опорной функции в сопряженном пространстве. Пусть X - конечномерное евклидово пространство. Для любого множества K из X определим сопряженное множество K^* из X^* как множество, опорная функция s(p,K^*) которого на векторах p из X совпадает с p_K:

$\forall p \in X ~s(p,K^*)=\mu_K(p)$

При этом для любого выпуклого замкнутого сбалансированного K

$\ K^{* *} = K$

Это определение также можно распространить на бесконечномерные рефлексивные пространства. При этом, однако, возникает некоторая сложность, так как пространство X^** содержит элементы, не лежащие в X. Можно доопределить опорную функцию на K^*, положив ее для таких векторов равной 0. Тогда при естественном вложении X в X^** образ K совпадает с K^** (при выпуклости и сбалансированности).

Ссылки

Другие проявления двойственности Минковского:

• Преобразование Лежандра
• Опорный принцип

Литература

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.