Деление с остатком

Деление c остатком (деление по модулю, нахождение остатка от деления, остаток от деления) — арифметическая операция, результатом которой является два целых числа: неполное частное и остаток от деления целого числа на другое целое число.

Определение

Разделить целое число $a\,$ на натуральное число $b > 0\,$ с остатком означает представить его в виде:

$a = b\,q + r,\quad 0 \leqslant r < b \quad (q \in \mathbb{Z},\,r \in \mathbb{Z}).$

При этом $q\,$ называется неполным частным, а $r\,$ — остатком от деления $a$ на $b.$

Например, при делении с остатком $a = 78$ на $b = 33$ получаем неполное частное $q = 2$ и остаток $r = 12:$

$78 = 33 \cdot 2 + 12.$

В программировании

Операция вычисления остатка в различных языках программирования

Язык	Оператор	Знак результата
ActionScript	%	Делимое
Ada	mod	Делитель
	rem	Делимое
ASP	Mod	Не определено
Си (ISO 1990)	%	Не определено
Си (ISO 1999)	%	Делимое[источник не указан 316 дней]
C++	%	Не определено[1]
C#	%	Делимое
ColdFusion	MOD	Делимое
Common Lisp	mod	Делитель
	rem	Делимое
Delphi	mod	Делимое
Microsoft Excel	=MOD() (англ. версия) =ОСТАТ() (рус. версия)	Делитель
Euphoria	remainder	Делимое
FileMaker	Mod	Делитель
Fortran	mod	Делимое
	modulo	Делитель
GML (Game Maker)	mod	Делимое
	div	Делитель
J	|~	Делитель
Java	%	Делимое[2]
JavaScript	%	Делимое
Lua	%	Делитель
Mathematica	Mod	Делитель
MATLAB	mod	Делитель
	rem	Делимое
MySQL	MOD %	Делимое
Objective Caml	mod	Не определено
Pascal	mod	Делимое
Perl	%	Делитель
PHP	%	Делимое
PL/I	mod	Делитель (ANSI PL/I)
Prolog (ISO 1995)	mod	Делитель
Python	%	Делитель
QBasic	MOD	Делимое
R	%%	Делитель
RPG	%REM	Делимое
Ruby	%	Делитель
Scheme	modulo	Делитель
SenseTalk	modulo	Делитель
	rem	Делимое
Tcl	%	Делитель
Verilog (2001)	%	Делимое
VHDL	mod	Делитель
	rem	Делимое
Visual Basic	Mod	Делимое

Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получении случайных чисел в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел.

Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа. Например, в Паскале операция mod вычисляет остаток от деления, а операция div осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается:

78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

Важно отметить, что операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Для нахождения минимального неотрицательного остатка от деления числа a на положительное число b, где a может принимать как положительные, так и отрицательные значения, можно воспользоваться следующей формулой:

(b+(a mod b)) mod b

См. также

• Делимость
• Деление (математика)
• Сравнение по модулю
• Остаток от деления

Целочисленное деление указано простейшей операцией, приносящей системные сбои, не выполнимой правильно в свойствах деления меньшего на большее.

A\B = 0 при A<B (A mod B) = A

Проверка:

B*0 + A = A

Примечания

1. ↑ ««ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages -- C++»», 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003 . «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
2. ↑ К. Арнолд, Дж. Гослинг, Д. Холмс Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0