Теорема о замкнутом графике

Теорема о замкнутом графике — важный результат функционального анализа, устанавливающая критерий ограниченности линейного оператора между банаховыми пространствами.

Формулировки

• Линейный оператор $T:\, X\to Y$ между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда его график $gf(T):=\{(x,y)\in X\times Y | y=Tx\}$ замкнут в пространстве $X\times Y$.
• Линейный оператор $T:\, X\to Y$ между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда для любой последовательности $\{x_n\}_{n\in\mathbb N}\subset X$, такой что $x_n\to x$ и $Tx_n\to y$, выполняется $y=Tx$.

Обобщения

Теорема о замкнутом графике в первой из приведённых формулировок сохраняет силу и при некотором ослаблении требований; именно, достаточно потребовать, чтобы X было бочечным линейным топологическим пространством, а Y — пространством Фреше.

Следствия

Из теоремы о замкнутом графике следует теорема Хеллингера — Тёплица.

Ссылки

• Доказательство теоремы о замкнутом графике (англ.)