Основная теорема о вычетах

Теорема о вычетах явлется мощным инструментом для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Ее часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

Illustration of the setting.

Теорема

Если $f$ аналитична в некоторой замкнутой односвязной области $\overline G\subset\mathbb C$, за вычетом конечного числа особых точек $a_1,a_2,\dots,a_n$, из которых ни одна не принадлежит граничному контуру $\partial G$, то справедлива следующая формула:

$\int\limits_{\partial G}f(z)\,dz=2\pi i\sum_1^n\mathop{\mathrm{res}}_{z=a_k}f(z)$, где $\mathop{\mathrm{res}}_{z=a_k}f$ — вычет $f$ в точке $a_k$.

Для использования теоремы в вычислении вещественных интегралов нужно продолжить интегрируемую функцию на комплексную плоскость и найти ее вычеты, что обычно довольно просто сделать. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. После этого интеграл по этому контуру можно вычислить, используя основную теорему о вычетах. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав ее правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному.

Пример

Интеграл

$\int\limits_{-\infty}^\infty {e^{itx} \over x^2+1}\,dx$

Контур интегрирования.

возникает в теории вероятностей при расчете характеристической функции распределения Коши и не поддается вычислению обычными методами. Вычислим его через интеграл по контуру $C$, указанному на рисунке ($a>1$). Интеграл равен

$\int\limits_C {f(z)}\,dz =\int\limits_C {e^{itz} \over z^2+1}\,dz.$

Так как $e^{itz}$ — целая функция (нет сингулярностей на комплексной плоскости), то функция имеет сингулярности лишь в точках, где $z^2+1=0$. Т.к. $z^2+1=(z+i)(z-i)$, это возможно лишь при $z=i$ или $z=-i$. В пределах контура лежит лишь одна из этих точек.

$\frac{e^{itz}}{z^2+1} \,\!$	${}=\frac{e^{itz}}{2i}\left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right)\,\!$
	${}=\frac{e^{itz}}{2i(z-i)} -\frac{e^{itz}}{2i(z+i)} , \,\!$

Вычет $f(z)$ в $z=i$ равен

$\operatorname{res}_{z=i}f(z)={e^{-t}\over 2i}.$

Тогда, по основной теореме о вычетах:

$\int\limits_C f(z)\,dz=2\pi i\,\operatorname{res}_{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.$

Контур $C$ можно разбить на прямую часть и кривую дугу, так что

$\int\limits_{\mbox{straight}}+\int\limits_{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,.$

Поэтому

$\int\limits_{-a}^a =\pi e^{-t}-\int\limits_{\mbox{arc}}.$

Можно показать, что при $t>0$:

$\int\limits_{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^2+1}\,dz \rightarrow 0; \quad a\rightarrow\infty.$

Поэтому, если $t>0$, то

$\int\limits_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-t}.$

Аналогичным образом, для дуги, обхватывающей точку $-i$ вместо $i$, можно показать, что при $t<0$:

$\int\limits_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^t,$

В итоге получаем:

$\int\limits_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.$

(При $t=0$ интеграл вычислим обычными методами анализа и равен $\pi$)

Внешние ссылки

• Residue theorem in MathWorld
• Residue Theorem Module by John H. Mathews

См. также

• Теорема Мореры
• Вычет