Теорема о причёсывании ежа

Теорема о причёсывании ежа утверждает, что не существует непрерывного касательного векторного поля на сфере, которое нигде не обращается в ноль. Иначе говоря, если $f$ — непрерывная функция, задающая касательный к сфере вектор в каждой её точке, то существует хотя бы одна точка $p$ такая, что $f(p)=0$.

Теорема является простым следствием из теоремы о неподвижной точке, доказанной в 1912 году Брауэром^[1].

Векторное поле на сфере с единственной особой точкой (диполь индекса 2). См. также анимированную версию.

Второй вариант «теоремы о еже» выглядит так. Пусть $\mathbf{f}$ — ненулевое непрерывное векторное поле на сфере. Тогда существует точка, в которой поле перпендикулярно сфере. Эту теорему можно проиллюстрировать так. Пусть сфера — свернувшийся в клубок ёж, вектор — колючка. Тогда такого сферического «ежа» нельзя причесать так, чтобы он нигде не кололся (без вихрей и проборов).^[2]

С более общей точки зрения, можно показать, что определённая сумма нулей касательного векторного поля должна равняться 2, эйлеровой характеристике двумерной сферы, поэтому должен существовать хотя бы один нуль. Это следствие теоремы Пуанкаре о векторном поле. Для двумерного тора эйлерова характеристика равна 0, поэтому его «можно причесать». В общем, любое непрерывное касательное векторное поле на компактном регулярном двумерном многообразии с ненулевой эйлеровой характеристикой имеет хотя бы один нуль.

Существование циклонов

Циркуляция воздуха

Интересное метеорологическое приложение этой теоремы получается, если рассмотреть ветер как непрерывное векторное поле на поверхности планеты. Рассмотрим идеализированный случай, в котором нормальная к поверхности составляющая поля пренебрежимо мала.

Случай, когда полностью отсутствует ветер, соответствует нулевому векторному полю. Этот случай неинтересен и физически невозможен (в силу неустойчивости). Но если ветер есть, то теорема о причёсывании ежа утверждает, что на поверхности планеты всегда будет точка, в которой не будет ветра (нуль касательного векторного поля).

Такая точка будет центром циклона или антициклона: как иголки ежа, ветер будет закручиваться вокруг этой точки (в силу непрерывности, он не может быть направлен внутрь этой точки или из нее). Таким образом, по теореме о причёсывании ежа, если на Земле дует хоть какой-то ветер, то где-то обязательно должен быть циклон. Его размер может быть сколь угодно большим, так же как и сила ветра вокруг.

Теорема Лефшеца

Существует очень близкое утверждение из алгебраической топологии, основанное на теореме Лефшеца о неподвижных точках. Так как числа Бетти двумерной сферы равны 1, 0, 1, 0, 0, …, то число Лефшеца (полный след на гомологии) тождественного отображения равно 2. Интегрируя векторное поле, мы получим (хотя бы в малой окрестности 0) однопараметрическую группу диффеоморфизмов на сфере, все отображения в которой гомотопны тождественному. Следовательно, все они также имеют число Лефшеца 2, поэтому обладают неподвижными точками (так как их число Лефшеца ненулевое). Можно доказать, что эти точки действительно будут нулями векторного поля. Это подсказывает формулировку более общей теоремы Пуанкаре о векторном поле.

Следствия

Как следствие теоремы о причёсывании ежа, любое непрерывное отображение сферы на себя либо имеет неподвижную точку, либо отображает некоторую точку на её диаметрально противоположную. Это становится ясно, если преобразовать отображение в непрерывное векторное поле следующим образом.

Пусть $s$ — отображение сферы на себя, а $v$ — искомое векторное поле. Для любой точки $p$ построим стереографическую проекцию точки $s(p)$ на касательную плоскость в точке $p$. Тогда $v(p)$ — вектор смещения проекции относительно $p$. По теореме о причёсывании ежа, существует такая точка $p$, что $v(p)=0$, так что $s(p)=p$.

Доказательство не проходит только, если для некоторой точки $p$ $s(p)$ противоположна $p$, так как в этом случае нельзя построить её стереографическую проекцию на касательную плоскость в точке $p$.

Случай высших размерностей

Связь с эйлеровой характеристикой $\chi$ подсказывает правильное обобщение: на $2n$-мерной сфере не существует нигде ненулевого непрерывного векторного поля ($n\geqslant 1$). Разница между чётными и нечётными размерностями заключается в том, что $k$-мерные числа Бетти $m$-мерной сферы равны 0 для всех $k$, кроме $k=0$ и $k=m$, поэтому их знакопеременная сумма $\chi$ равна 2 для чётных $m$ и 0 — для нечётных.

Примечания

1. ↑ Точка, которой не может не быть
2. ↑ Richard Evan Schwartz Mostly Surfaces. — American Mathematical Soc., 2011. — P. 113—114. — 312 p. — (Student Mathematical Library). — ISBN 9780821853689

Литература

• Murray Eisenberg, Robert Guy. A Proof of the Hairy Ball Theorem. — The American Mathematical Monthly. — Vol. 86. — No. 7 (Aug. — Sep., 1979). — pp. 571—574.

См. также

• Теорема Пуанкаре о векторном поле