Теорема Жордана

Простая замкнутая кривая (чёрного цвета) делит плоскость на внутреннюю часть (голубого цвета) и внешнюю часть (розового цвета).

Теорема Жордана гласит

Простая (т.е. не имеющая самопересечений) плоская замкнутая кривая $\gamma$ разбивает плоскость $\mathbb R^2$ на две связные компоненты и является их общей границей. [1]

Из двух связных компонент одна $B$ (внутренность $\gamma$) — ограниченная; характеризуется тем, что степень $\gamma$ относительно любой точки в $B$ равна $\pm1$; другая $S$ (внешность $\gamma$) — неограниченная, и степень $\gamma$ относительно любой точки в $S$ равна нулю. ^[1]

Обобщения

Теорема Жордана обобщается по размерности:

Любое (n-1)-мерное подмногообразие в $\mathbb R^n$, гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей.

При $n=3$ это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего n-мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра. ^[1]

История

Теорема была сформулирована и доказана Жорданом, в 1887. Это доказательство содержало ряд неточностей, первым полным доказательством обычно считается доказательство Веблена (англ.) (1905).^{[источник не указан 36 дней]}

Элементарное доказательство теоремы Жордана предложил А. Ф. Филиппов в 1950 году. ^[2]

См. также

• Жорданова кривая

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3} Математическая энциклопедия
2. ↑ А. Ф. Филиппов. Элементарное доказательство теоремы Жордана, УМН, 5:5(39) (1950), 173–176

Литература

• Аносов Д.В. Отображения окружности, векторные поля и их применения. — М.: изд-во МЦНМО, 2003.
• Филиппов А.Ф. Элементарное доказательство теоремы Жордана. — УМН, 5:5(39) (1950), 173–176.
• Jordan С. Cours d'analyse, t. I, P., 1893.
• Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. — пер. с франц., т. 2, Л.-М., 1933.
• Александров П.С. Комбинаторная топология. — М.-Л., 1947.
• Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — пер. с англ., М.: 1964.