Формула Кирхгофа

Фо́рмула Кирхго́фа — аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного (Формула Пуассона) и одномерного (Формула Д’Аламбера) уравнения.

Полная формулировка задачи и ответа

Рассмотрим уравнение

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\triangle u = f$, где функции $u=u(\mathbf{x},t)$ и $f=f(\mathbf{x},t)$ определены на $(\mathbf{x},t)\in\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^+$, а $\triangle$ — оператор Лапласа.

Это уравнение определяет распространение бегущей волны в n-мерной однородной среде со скоростью $a$ в моменты времени $t>0$.

Для того, чтобы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства (или, говорят, «начальное возмущение») в момент времени $t=0$:

$u|_{t=0}=\varphi_0(\bar{x}),\quad \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\varphi_1(\bar{x})$

Тогда обобщённая формула Кирхгофа даёт решение этой задачи в трёхмерном случае:

$u(\mathbf{x},t)= \frac{\partial}{\partial t}\left [ \frac{1}{4\pi a^2t}\iint\limits_{S}\varphi_0(\mathbf{y})d^2 S_n \right ] + \frac{1}{4\pi a^2t}\iint\limits_{S}\varphi_1(\mathbf{y})d^2 S_n + \frac{1}{4\pi a^2}\iiint\limits_{\left | \mathbf{x}-\mathbf{y}\right | \leqslant at}\frac{f\left ( \mathbf{y}, t-\frac{\left | \mathbf{x}-\mathbf{y}\right | }{a}\right ) }{\left | \mathbf{x}-\mathbf{y}\right | }d^3\mathbf{y}$

где поверхностные интегралы берутся по сфере $S: \left | \mathbf{x}-\mathbf{y}\right | =at$.

Сам Кирхгоф рассматривал только трёхмерный случай.

Простой вывод решения основной задачи использует преобразование Фурье.

Физические следствия

Передний и задний волновые фронты от локализованного в пространстве возмущения действуют на наблюдателя в течение ограниченного отрезка времени

Пусть в начальный момент времени $t=0$ на некотором компакте M есть локальное возмущение ($\varphi_0\ne0$ и/или $\varphi_1\ne0$). Если мы находимся в некоторой точке $\bar{x}_0\in\mathbb{R}^3$, то, как видно из формулы (область интегрирования), возмущение мы почувствуем через время $t_1=\frac{1}{a}\inf_{\bar{y}\in M}\left | \bar{y} - \bar{x}_0\right |$.

Вне отрезка времени $\left [ t_1; t_2 \right ]$, где $t_2=\frac{1}{a}\sup_{\bar{y}\in M}\left | \bar{y} - \bar{x}_0\right |$, функция u(x ₀, t) равна нулю.

Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени, то есть возмущение распространяется в виде волны, имеющей передний и задний фронты, что выражает принцип Гюйгенса). На плоскости же этот принцип нарушается. Обоснованием этого является тот факт, что носитель возмущения, компактный в $\mathbb{R}^2$, уже не будет компактным в $\mathbb{R}^3$, а будет образовывать бесконечный цилиндр, и, следовательно, возмущение будет неограниченно во времени (у цилиндрических волн отсутствует задний фронт).^[1]

Формула Пуассона-Парсеваля

Решение уравнения колебаний мембраны (двумерного пространства)

$u_{tt}=a^2 \triangle u + f$

(функция $f(x,t)$ соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

$u(0,x)=\varphi(x),\quad u_t(0,x)=\psi(x)$

задаётся формулой:

$u(\bar{x},t)=u(x_1,x_2,t)= \frac{1}{2\pi a}\int\limits_0^t\iint\limits_{r<a(t-\tau)}\frac{f(y_1,y_2,t)dy_1 dy_2 d\tau}\sqrt{a^2(t-\tau)^2-(y_1-x_1)^2-(y_2-x_2)^2}+$

$+\frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{2\pi a}\iint\limits_{r<at}\frac{\varphi(y_1,y_2)dy_1 dy_2}\sqrt{a^2t^2-(y_1-x_1)^2-(y_2-x_2)^2} +\frac{1}{2\pi a}\iint\limits_{r<at}\frac{\psi(y_1,y_2)dy_1 dy_2}\sqrt{a^2t^2-(y_1-x_1)^2-(y_2-x_2)^2}$.

Формула Д'Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения

$u_{tt}=a^2 u_{xx} + f\quad$ (функция $f(x,t)$ соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

$u(0,x)=\varphi(x),\quad u_t(0,x)=\psi(x)$

имеет вид^[2]

$u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}+\frac{1}{2a}\int\limits^t_0\int\limits^{x+a(t-\tau)}_{x-a(t-\tau)} f(s,\tau)ds d\tau$

В область II приходят характеристики только из одного семейства

При пользовании формулой Д’Аламбера следует учесть, что иногда решение может не быть единственным во всей рассматриваемой области $\mathbb{R}^1\times[0, T]$. Решение волнового уравнения представляется в виде суммы двух функций: $u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)$, то есть оно определяется двумя семействами характеристик: $x+at=\xi,\ x-at=\eta$. Пример, показанный на рисунке справа, иллюстрирует волновое уравнение для полубесконечной струны, и начальные условия в нём заданы только на зеленой линии x≥0. Видно, что в область I приходят как ξ-характеристики, так и η-характеристики, в то время как в области II есть только ξ-характеристики. То есть, в области II формула Д’Аламбера не работает.

Применение формул

В общем виде формула Кирхгофа довольно громоздка, а потому решение задач математической физики с её помощью обычно является затруднительным. Однако, можно воспользоваться линейностью волнового уравнения $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\triangle u+f(\bar{x},t)$ с начальными условиями $u(\bar{x},0)=\varphi_0(\bar{x}),\ u_t(\bar{x},0)=\varphi_1(\bar{x})$ и искать решение в виде суммы трех функций: $u(x,t)=A(x,t)+B(x,t)+C(x,t)$, которые удовлетворяют следующим условиям:

$\frac{\partial^2 A}{\partial t^2}=a^2\triangle A+f(\bar{x},t), \qquad A(\bar{x},0)=0,\ A_t(\bar{x},0)=0;$

$\frac{\partial^2 B}{\partial t^2}=a^2\triangle B, \qquad B(\bar{x},0)=\varphi_0(\bar{x}),\ B_t(\bar{x},0)=0;$

$\frac{\partial^2 C}{\partial t^2}=a^2\triangle C, \qquad C(\bar{x},0)=0,\ \mathit{C}_t(\bar{x},0)=\varphi_1(\bar{x}).$

Сама по себе такая операция не упрощает пользование формулой Кирхгофа, но для некоторых задач оказывается возможным подбор решения, либо сведение многомерной задачи к одномерной путем замены переменных. Например, пусть $\varphi_1(x,y,z)=\frac{1}{1+(x+3y-2z)^2}$. Тогда, сделав замену $\xi=x+3y-2z$, уравнение для задачи «С» примет вид:

$\frac{\partial^2 C}{\partial t^2}=14a^2\frac{\partial^2 C}{\partial \xi^2}, \qquad \mathit{C}(\xi,0)=0,\ C_t(\xi,0)=\frac{1}{1+\xi^2}.$

Таким образом, пришли к одномерному уравнению, а, значит, можно воспользоваться формулой Д’Аламбера:

$C(\xi,t)=\frac{1}{2\sqrt{14}a}\int\limits_{\xi-\sqrt{14}at}^{\xi+\sqrt{14}at}\frac{d\eta}{1+\eta^2}=\frac{1}{2\sqrt{14}a}\left ( \operatorname{arctg}(\xi+\sqrt{14}at)-\operatorname{arctg}(\xi-\sqrt{14}at)\right ) .$

В силу четности начального условия, решение сохранит свой вид во всей области $t>0$.

Примечания

1. ↑ КИРХГОФА ФОРМУЛА // Физическая энциклопедия / Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов, Б. К. Вайнштейн, С. В. Вонсовский, А. В. Гапонов-Грехов, С. С. Герштейн, И. И. Гуревич, А. А. Гусев, М. А. Ельяшевич, М. Е. Жаботинский, Д. Н. Зубарев, Б. Б. Кадомцев, И. С. Шапиро, Д. В. Ширков; под общ. ред. А. М. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988—1998.
2. ↑ Формула Д’Аламбера в Физической энциклопедии

Литература

• Михайлов В.П., Михайлова Т.В., Шабунин М.И. Сборник типовых задач по курсу Уравнения математической физики. — М.: МФТИ, 2007. — ISBN 5-7417-0206-6

Ссылки

• Раздел о формуле Д’Аламбера

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.