Правило произведения

Правило произведения или тождество Лейбница — характерное свойство дифференциальных операторов.

$\delta(f\times g)=(\delta f)\times g+f\times(\delta g).$

Часто тождество Лейбница включается как аксиома при определении дифференцирования.

Примеры

• Для производной

  $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$

• Для дифференциала

  $d(f\cdot g)=(d f)\cdot g+f\cdot(d g)$

Вариации и обобщения

Операция $\delta_l \colon \oplus_k\Omega^k \to \oplus_k\Omega^{k+l}$ на градуированной алгебре $\Omega = \oplus_k \Omega^k$ удовлетворяет градуированному тождеству Лейбница, если для любых $K \in \Omega^k$, $F \in \Omega$

$\delta_l(K \wedge F) = \delta_l(K) \wedge F + (-1)^{kl} K \wedge \delta_l(F)$

где $\wedge$ — умножение в $\Omega$. Большинство дифференцирований на алгебре дифференциальных форм удовлетворяют этому тождеству.