- Градуированная алгебра
-
Пусть A — алгебра над кольцом k, G — полугруппа.
Алгебра A называется G-градуированной (синоним: на A задана G-градуировка), если A разлагается в прямую сумму k-модулей по всем элементам g из G, причём умножение в алгебре согласовано с умножением в полугруппе:
Если ненулевой элемент a принадлежит , то он называется однородным степени g.
Когда в качестве G берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру A называют просто градуированной.
Конструкции с градуировками
- Если A — G—градуированная алгебра, а — гомоморфизм полугрупп, тогда A наделяется H—градуировкой по правилу:
- На любой алгебре A можно ввести тривиальную градуировку любой полугруппой G с единицей e, полагая , поэтому такие «бедные» градуировки рассматривать не имеет смысла.
- Над полем любая алгебра A градуируется группой G характеров максимального тора своей группы алгебраических автоморфизмов:
- для всякого
- Эта градуировка, в вышеопределённом смысле, — «самая богатая» из всех абелевых градуировок алгебры A, поскольку на любой G—градуированной алгебре A группа характеров G действует автоморфизмами, по той же формуле.
Примеры
- Кольцо многочленов от одной или нескольких переменных.
- Кольцо когомологий
- Алгебра матриц порядка n градуируется группой
- Полугрупповая алгебра — является G—градуированной алгеброй
Литература
- C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen Graded Ring Theory, — North-Holland, Amsterdam,1982
Категория:- Теория колец
Wikimedia Foundation. 2010.