Неравенство треугольника

Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника включается как аксиома в определение метрического пространства, нормы и т.д.; также, часто является теоремой в различных теориях.

Евклидова геометрия

Длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других.

Пусть дан треугольник $\Delta ABC.$ Тогда $|AC| \leqslant |AB|+|BC|,$ причём равенство $|AC| = |AB|+|BC|$ достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка $B$ лежит строго между $A$ и $C$.

Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

Нормированное пространство

Пусть $(X,\|\cdot\|)$ — нормированное векторное пространство, где $X$ — произвольное множество, а $\|\cdot\|$ — определённая на $X$ норма. Тогда по определению последней справедливо:

$\|x+y\| \leqslant \|x\| + \|y\|,\quad \forall x,y\in X.$

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.

Метрическое пространство

Пусть $(X,\rho)$ — метрическое пространство, где $X$ — произвольное множество, а $\rho$ — определённая на $X$ метрика. Тогда по определению последней

$\rho(x,y) \leqslant \rho(x,z) + \rho(z,y),\quad x,y,z\in X.$

Вариации и обобщения

• $d(x,z) \leqslant \max( d(x,y), d(y,z) )$ Сильное неравенство треугольника

Обратное неравенство треугольника

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

• $\bigl| \|x\| - \|y\| \bigr| \leqslant \|x-y\|,\quad x,y\in X;$
• $| \rho(x,y) - \rho(x,z) | \leqslant \rho(y,z), \quad x,y,z\in X.$

Неравенство треугольника для трёхгранного угла

См. также: Сферическая геометрия

Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.