Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки

Случай известного среднего

Пусть $X_1,\ldots,X_n \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ — независимая выборка из нормального распределения, где $\mu$ — известное среднее. Определим произвольное $\alpha \in [0,1]$ и построим $\alpha$ — доверительный интервал для неизвестной дисперсии $\sigma^2$.

Утверждение. Случайная величина

$H = \frac{\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}$

имеет распределение $\chi^2(n)$. Пусть $\chi^2_{\alpha,n}$ — $\alpha$-процентиль этого распределения. Тогда имеем:

$\mathbb{P}\left(\chi^2_{\frac{1-\alpha}{2},n} \leqslant H \leqslant \chi^2_{\frac{1+\alpha}{2},n}\right) = \alpha$.

После подстановки выражения для $H$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

$\mathbb{P}\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{\frac{1+\alpha}{2},n}} \leqslant \sigma^2 \leqslant \frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{\frac{1-\alpha}{2},n}} \right) = \alpha$.

Случай неизвестного среднего

Пусть $X_1,\ldots,X_n \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ — независимая выборка из нормального распределения, где $\mu$, $\sigma^2$ — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии $\sigma^2$.

Теорема Фишера для нормальных выборок. Случайная величина

$H = \frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$,

где $S^2$ — несмещённая выборочная дисперсия, имеет распределение $\chi^2(n-1)$. Тогда имеем:

$\mathbb{P}\left( \chi^2_{\frac{1-\alpha}{2},n-1} \leqslant H \leqslant\chi^2_{\frac{1+\alpha}{2},n-1}\right) =\alpha$.

После подстановки выражения для $H$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

$\mathbb{P}\left( \frac{(n-1) S^2}{\chi^2_{\frac{1-\alpha}{2},n-1}} \leqslant \sigma^2 \leqslant\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{1+\alpha}{2},n-1}} \right) = \alpha$.

Для улучшения этой статьи желательно?: Добавить иллюстрации. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.