Бордизм

«Штаны» — бордизм между окружностью и парой окружностей

Бордизм, также бордантность — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм раньше говорили о кобордизмах, старая терминология тоже сохранилась.

Неориентированные бордизмы

Неориентированные бордизмы — простейший вариант бордизмов. Два гладких замкнутых $n$-мерных многообразия $M$ и $M'$ бордантны (ограничивают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное $(n+1)$-мерное многообразие $W$ (называемое плёнка), край которого состоит из двух многообразий $M$ и $M'$, (или точнее многообразий $M_0$ и $M_1$ диффеоморфных, соответственно, $M$ и $M'$ посредством некоторых диффеоморфизмов $g_0\colon M\to M_0$ и $g_1\colon M'\to M_1$). Совокупность многообразий, бордантных друг другу, называется классами бордизмов, а тройку $(W,\;M_0,\;M_1)$ называют бордизмом (точнее было бы говорить о пятёрке $(W,\;M_0,\;M_1,\;g_0,\;g_1)$).

Множество классов бордизмов $n$-мерных многообразий образует абелеву группу $\Omega_n^O$ относительно несвязного объединения, называемую группой бордизмов. Нулем в ней служит класс бордизмов, состоящих из многообразий, которые являются границей некоторого многообразия (другие названия: $M$ — ограничивающее многообразие, $M$ — внутренне гомологично, или бордантно нулю). Элементом $\Omega_n^O$ обратным данному классу бордизмов, является сам этот класс (так как объединение двух копий $M$ диффеоморфно границе прямого произведения $M\times [0,\;1]$). Прямая сумма $\Omega_*^O$ групп $\Omega_n^O$ является коммутативным градуированным кольцом, умножение в котором индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом бордизмов точки.

Бордизмы с дополнительной структурой

Ориентированные бордизмы

Ориентированные бордизмы — наиболее простой тип бордизмов гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Два ориентированных многообразия $M$ и $M'$ ориентированно бордантны, если они бордантны в прежнем смысле, причём плёнка $W$ ориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией $W$ на $M_0$ и $M_1$ (как на частях края), переходит при диффеоморфизмах $g_0$ и $g_1$, соответственно, в исходную ориентацию $M$ и в ориентацию, противоположную исходной ориентации $M'$. Аналогично $\Omega_n^O$, и $\Omega_*^O$ вводятся группы ориентированных бордизмов $\Omega_n^{SO}$ и кольцо $\Omega_*^{SO}$.

Другие варианты

Другие варианты бордизмов многообразий с дополнительной структурой — очень важные бордизмы квазикомплексных многообразий (называемые также унитарными бордизмами), бордизмы многообразий, на которых действует группа преобразований, $\mathrm{Spin}$-бордизмы. Имеются также варианты несколько иного рода, для кусочно линейных или топологических многообразий, для комплексов Пуанкаре и т. д. Особое положение занимают бордизмы слоений и $h$-бордизмы (ранее называемые $J$-эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и гомотопической топологии.

Свойства

• Два многообразия бордантны, тогда и только тогда, когда у них совпадают характеристические числа (числа Штифеля — Уитни в неориентируемом случае и числа Штифеля — Уитни и числа Понтрягина — в ориентируемом).

История

Первый пример — бордизм оснащённых многообразий, введённый в 1938 году Понтрягиным, который показал, что классификация этих бордизмов эквивалентна вычислению гомотопических групп сфер $\pi_i(S^n)$, и таким путём смог найти $\pi_{n+1}(S^n)$ и $\pi_{n+2}(S^n)$. Неориентированные и ориентированные бордизмы были введены в 1951—53 годах Рохлиным, вычислившим $\Omega_n^{SO}$ для $n\leqslant4$. Понтрягин доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристические числа. Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.

Литература

• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1972. — 280 с.

См. также

• $h$-кобордизм