Zitterbewegung

Zitterbewegung (нем. Zitterbewegung — «дрожащее движение») — быстрое осциллирующее движение элементарной частицы, подчиняющейся уравнению Дирака (в частности, электрона). Существование такого движения было впервые отмечено Шрёдингером в 1930 году, который проанализировал решение уравнения Дирака для релятивистского свободного электрона, имеющее вид волнового пакета, в котором интерференция между состояниями c положительной и отрицательной энергиями приводит к колебаниям (на скорости света) электрона вокруг его среднего положения с круговой частотой $2 m c^2 / \hbar \,\!$ или приблизительно 1,6·10²¹ Гц.

Вывод выражения, описывающего Zitterbewegung

Движение свободного релятивистского электрона можно описать уравнением Шрёдингера

$H \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t) \,\!$

где

$H = \alpha_0 mc^2 + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \, c \,\!$

— гамильтониан Дирака.

Тогда для описания зависимости любого оператора Q от времени справедливо:

$-i \hbar \frac{\partial Q(t)}{\partial t} = \left[ H , Q \right] \,\!\;.$

В частности, для производной по времени от оператора координаты $x_k(t) \,\!$

$\hbar \frac{\partial x_k(t)}{\partial t} = i\left[ H , x_k \right] = \alpha_k \,\!\;.$

Полученное уравнение показывает, что оператор $\alpha_k$ можно интерпретировать как k-ю компоненту оператора скорости.

Зависимость этого оператора от времени описывается, в свою очередь, выражением

$\hbar \frac{\partial \alpha_k(t)}{\partial t} = i\left[ H , \alpha_k \right] = 2ip_k-2i\alpha_kH \,\!\;.$

Поскольку $p_k$, и $H$ не зависят от времени, вышеприведённое уравнение можно дважды проинтегрировать по $t \,\!$, получив следующую зависимость оператора координаты от времени:

$x_k(t) = x_k(0) + c^2 p_k H^{-1} t + {1 \over 2 } i \hbar c H^{-1} ( \alpha_k (0) - c p_k H^{-1} ) ( e^{-2 i H t / \hbar } - 1 ). \,\!$

В получившееся выражение входит начальное положение, пропорциональное времени движение и дополнительный член, соответствующий осцилляциям с амплитудой, равной комптоновской длине волны. Это осциллирующее слагаемое — так называемый «Zitterbewegung».

Заметим, что это слагаемое исчезает, если допустить, что волновой пакет состоит из волн только с положительной энергией. Таким образом, «Zitterbewegung» можно интерпретировать как результат интерференции между компонентами волны с положительной и отрицательной энергиями.

Опытное подтверждение

В 2009 году учёные экспериментально наблюдали явление Zitterbewegung, подтвердив предсказание Шрёдингера.^[1][2]

Примечание

1. ↑ R. Gerritsma et al. Quantum simulation of the Dirac equation // Nature. — 2010. — Т. 463. — С. 68-71.
2. ↑ Physicists catch sight of trembling particle, physicsworld.com (2010-1-10).

Ссылки

• E. Schrödinger, Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik («On the free movement in relativistic quantum mechanics»), Berliner Ber., pp. 418—428 (1930); Zur Quantendynamik des Elektrons, Berliner Ber, pp. 63-72 (1931)

• A. Messiah, Quantum Mechanics Volume II, Chapter XX, Section 37, pp. 950—952 (1962)

• Observing Zitterbewegung in Ultracold Atoms