Sinc-фильтр

Sinc-фильтр — в обработке сигналов идеальный электронный фильтр, который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза, оставляя заданную низкочастотную полосу сигнала. В частотной области (АЧХ) представляет собой прямоугольную функцию, а во временно́й области (импульсная характеристика) — sinc-функцию. Реальные фильтры могут по своим характеристикам только приближаться к sinc-фильтру, так как идеальный sinc-фильтр физически нереализуем в силу бесконечного порядка передаточной функции и бесконечности ядра по времени в обе стороны (это накладывает ограничения на его реализацию как во временно́й области, так и в частотной).

Sinc-фильтры используются для математического описания обработки сигналов, в частности при доказательстве теоремы Котельникова и формулы Уиттакера-Шеннона.

Характеристики

Временны́е

Нормированная импульсная характеристика

Нормированная частотная характеристика

Пусть $f_0\,$ — частота среза (ограничивающая полосу пропускания) в герцах. Импульсная характеристика такого фильтра получается при помощи обратного преобразования Фурье от частотной характеристики:

$h(t) = \mathcal{F}^{-1} \{ H(f) \}(t) = 2f_0\cdot \frac{\sin(2\pi f_0t)}{2\pi f_0t} = 2f_0\cdot \mathrm{sinc}(2\pi f_0\cdot t)\,$, где $\mathrm{sinc}$ — нормированная sinc-функция.

Частотные

Частотная характеристика фильтра:

$H(f) = \mathrm{rect} \left( \frac{f}{2f_0} \right)$, где $\mathrm{rect}$ — прямоугольная функция.

Пусть $x(t)\,$ — любая функция вещественного аргумента, для которой существует преобразование Фурье $\mathcal{F} \{x \} = X(\omega)$. Тогда sinc-фильтр, имеющий импульсную характеристику $h(t)\,$, воздействует на сигнал таким образом, что на его выходе частоты выше частоты среза зануляются по амплитуде, а компоненты частотной характеристики ниже частоты среза остаются неизменными:

$\mathcal{F} \{ h*x \} = \left \{ \begin{matrix} X(\omega) & |\omega| \leq 2\pi f_0 \\ 0 & |\omega| > 2\pi f_0 \end{matrix} \right.$, где $*\,$ — оператор свёртки.

См. также

• Алиасинг
• Антиалиасинг
• Фильтр низких частот