Метод Самокиша

Метод Самокиша (Формула Стенжера) — метод численного интегрирования интегралов с особенностями.

Рассмотрим определённый интеграл с особенностями на концах промежутка [-1;1]

Пусть требуется вычислить $I=\int\limits_{-1}^1 f(x)\,dx$ — оба конца особые. Метод заключается в отбрасывании концов на бесконечность, заменой переменных:

$x = \operatorname{th}\left(\frac{t}{2}\right)=\frac{e^{\frac{t}{2}}-e^{-\frac{t}{2}}}{e^{\frac{t}{2}}+e^{-\frac{t}{2}}}=\frac{e^t-1}{e^t+1}$

$dx=\frac{1}{2}\frac{1}{\operatorname{ch}^2\left(\frac{t}{2}\right)}dt=\frac{2e^t}{(e^t+1)^2}dt$, тогда интеграл принимает следующий вид:

$I=\int\limits_{-1}^1 f(x)\,dx=2\int\limits_{-\infty}^{\infty}f\left(\frac{e^t-1}{e^t+1}\right)\frac{e^t}{(e^t+1)^2}\,dt=2h\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}f\left(\frac{e^{nh}-1}{e^{nh}+1}\right)\frac{e^{nh}}{(e^{nh}+1)^2}$

Интеграл берется по формуле трапеций. Пусть $q = e^h$,где $h = \frac{b-a}{m}$, m — количество промежутков деления, тогда :

$I=\int\limits_{-1}^1 f(x)\,dx = 2h\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}f\left(\frac{q^{n}-1}{q^{n}+1}\right)\frac{q^{n}}{(q^{n}+1)^2}$

Суммирование заканчивается, когда остаток ряда меньше заданного ε.

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.

Библиография

• F. Stenger. "Integration formulae based on the trapezoidal formula.", J. Inst. Math. Appl., v. 12, 1973, pp 103 -- 114.
• S. Beighton and B. Noble. An Error Estimate for Stanger's Quadrature Formula. Mathematics of Computation. Vol 38, num 158, April 1982, pp. 539 -- 545.
• Самокиш Б. А. Квадратурные формулы для интегралов от функций, аналитических внутри отрезка.// Вест. Ленингр. ун-та, 1990, No 1, сс. 42 -- 49.
• Марданов А. А. О вычислении сингулярных интегралов с плотностью, аналитической внутри отрезка. Труды ФОРА, 2003, No 8, cc. 99 -- 110