Правая квазигруппа

В абстрактной алгебре, квазигру́ппа — это алгебраическая структура, напоминающая группу тем, что в ней всегда возможно деление. В отличие от групп, квазигруппа не обязана быть ассоциативной.

Определения и свойства

Квазигруппой называют пару (Q, *) из множества Q с бинарной операцией * : Q × Q → Q, удовлетворяющей следующему условию: для любых элементов a и b из Q найдутся единственные элементы x и y из Q, такие что

• a * x = b
• y * a = b

Решения этих уравнений иногда записывают так:

• x = a \ b
• y = b / a

Операции \ и / называют левым и правым делением.

Квазигруппу с единицей называют также лупой(от англ. loop - петля).

Если между элементами двух квазигрупп Q и R можно установить биекцию (т. е. они совпадают как множества), говорят, что Q и R имеют одинаковый порядок. Если при этом существуют перестановки A, B, C, действующие на элементах этих квазигрупп, такие что

• (x, y) = [xA, yB]C

(здесь ( , ) и [ , ] - операции в Q и R соответственно), то такие квазигруппы называют изотопными.

Для любой квазигруппы существует лупа, которой она изотопна. Если же лупа изотопна группе, то она является группой. В более общем случае, если полугруппа изотопна лупе, то они изоморфны и обе изоморфны группе. Изотопия, в некотором смысле, эквивалентна изоморфизму групп, но существуют квазигруппы изотопные, но не изоморфные группам.

Любой латинский квадрат является таблицей умножения (таблицей Кэли) квазигруппы.

Примеры

• Любая группа является также и квазигруппой, так как a * x = b $\Leftrightarrow$ x = a⁻¹ * b, y * a = b $\Leftrightarrow$ y = b * a⁻¹.
• Целые числа ($\mathbb{Z}$) с операцией вычитания (−) являются квазигруппой.
• Ненулевые рациональные числа $\mathbb{Q}$ (или вещественные - $\mathbb{R}$) с операцией деления (÷) являются квазигруппой.
• Множество {±1, ±i, ±j, ±k} где ii = jj = kk = +1 и все остальные произведения определяются также, как в кватернионах является квазигруппой с единицей (лупой).
• Любое векторное пространство над полем вещественных чисел относительно операции x * y = (x + y) / 2 образует структуру идемпотентной, коммутативной квазигруппы.