Полиадическая группа

Полиадическая группа ($n$-арная группа) в общей алгебре — обобщение понятия группы, использующее $n$-арную операцию вместо бинарной.

История

Эта статья требует оформления и доводки. В этой статье необходимо: Улучшить стиль написания статьи Оформить структуру (разделы) статьи Проставить и заполнить карточки и элементы страницы Аккуратно разместить и подписать изображения Викифицировать ключевые слова и даты в тексте Подписать сноски и ссылки Если вы желаете оформить данную статью, пожалуйста, отредактируйте данный шаблон в тексте статьи, дописав в него |Своё имя Если вы считаете, что материала в статье недостаточно или он не завершён, проставьте, пожалуйста, шаблон {{rq}} с соответствующими параметрами и поясните на странице обсуждения, чего именно недостаёт в статье. Не забудьте убрать данный шаблон со страницы по завершении работ над её оформлением. Чтобы увидеть количество и список недоведённых статей, добавьте на свою личную страницу шаблон {{К оформлению}}, или перейдите сюда: Категория:Википедия:Статьи к оформлению.

Первой работой, в которой n-арные группы (или полиадические группы) стали объектом самостоятель­ного изучения, является статья В. Дёрнте^[1]. В этой работе дано определение n-арной группы, приведены первые примеры n-арных групп и для некоторых понятий теории групп определены их n-арные аналоги. Для нормальных подгрупп группы n-арными аналогами стали инвариантные и полуинвариантные n-арные подгруппы n-арной группы, а для абелевых групп - абелевы и полуабелевы n-арные группы. Если n-арная операция [ ] n-арной группы < A, [ ] > и групповая операция ◦, определённая на том же множестве A, связаны тождеством [x₁x₂ … x_n] = x₁ ◦ x₂ ◦ … ◦ x_n, то n-арную группу < A, [ ] > называют производной от группы < A, ◦ >. В. Дёрнте доказал, что n-арная группа является производной от группы тогда и только тогда, когда она обладает единицей.

В 1940 году Э. Пост опубликовал статью^[2], которая является фундаментом теории n-арных групп. В этой статье показано, что в сравнении с группами, n-арные группы - более сложно устроенные математические объекты. Поэтому методы, которые используются в теории групп, часто не применимы в теории n-арных групп.

Важнейшим достижением Э. Поста является результат, который впоследствии стали называть теоремой Поста о смежных классах, позволяющий при изучении n-арных групп использовать результаты теории групп. Теорема Поста о смежных классах утверждает, что для всякой n-арной группы < A, [ ] > существует группа A*, в которой имеется нормальная подгруппа A_o такая, что факторгруппа A*/A_o — циклическая порядка n - 1. Образующий смежный класс xA_o этой циклической группы является n-арной группой с n-арной операцией, производной от операции в группе A*, при этом n-арные группы < A, [ ] > и < xA_o, [ ] > изоморфны. В определении группы A* Э. Пост использовал отношение θ, которое он определил на свободной полугруппе F_A по правилу: (α, β) $\in$ θ тогда и только тогда, когда существуют γ,δ $\in$F_A такие, что [γαδ] = [γβδ]. Отношение θ является конгруэнцией на F_A, а полугруппа F_A/θ - группой, которую обозначают символом A* и называют универсальной обертывающей группой n-арной группы < A, [ ] >. Вообще, группа G называется обертывающей для n-арной группы < A, [ ] >, если она порождается множеством А и для любых элементов x₁, x₂, …, x_n $\in$ A верно [x₁x₂ … x_n] = x₁x₂ … x_n. Соответствующей группой для n-арной группы < A, [ ]  называется подгруппа H обертывающей группы G, состоящая из всех элементов вида x₁x₂ … x_n-1.

Обратная теорема Поста о смежных классах формулируется следующим образом: пусть G группа, H - ее нормальная подгруппа, факторгруппа G/H - циклическая с образующим элементом gH, порядок |G/H| делит n - 1, на множестве A = gH определена n-арная операция [a₁a₂ … a_n] = a₁a₂ … a_n. Тогда < A, [ ] > – n-арная группа, для которой G — обертывающая, а H -  соответствующая группы.

Примером использования теоремы Поста о смежных классах является доказанная самим Э. Постом теорема Силова для n-арных групп^[2], согласно которой, если < A, [ ] > - конечная n-арная группа порядка rp^α, где p - простое число, (r, p) = 1, (r, n - 1) = 1, то < A, [ ] > обладает по крайней мере одной n-арной подгруппой порядка p^α и любые две n-арные подгруппы порядка p^α сопряжены в < A, [ ] >. Используя теорему Поста о смежных классах, С. А. Русаков продолжил^[3] изучение строения конечных n-арных групп, доказав для них n-арные аналоги теоремы Шура, теоремы Холла и теоремы Чунихина. Теорему Поста о смежных классах использовал В. А. Артамонов при описании n-арных подгрупп свободных n-арных групп^[4][4] и шрайеровых многообразий n-арных групп^[5].

При изучении n-арных групп можно использовать результаты теории групп, опираясь не только на теорему Поста о смежных классах, но и на теорему Хоссу-Глускина^[6][7], которая утверждает, что на всякой n‑арной группе < A, [ ] > можно определить бинарную операцию ◦ и отображение β, а также выбрать элемент d $\in$ A таким образом, что < A, ◦ > - группа, β — её автоморфизм, и выполняются три условия: [x₁x₂ … x_n] = x₁ ◦ x₂^β◦ … ◦ x_n^βn-1◦ d, x₁, x₂, …, x_n $\in$ A; d^β = d; d ◦ x = x^βn-1◦ d, x $\in$ A. Верна и обратная теорема Хоссу-Глускина, согласно которой, если элемент d группы < A, ◦ > и ее автоморфизм β удовлетворяют второму и третьему условиям из прямой теоремы Хоссу-Глускина, то < A, [ ] > - n-арная группа с n‑арной операцией из первого условия этой же теоремы.

К числу важнейших работ, посвященных n-арным группам, относится статья Монка и Сиосона^[8]. n-Арным группам посвящены обзор К. Глазека^[9], а также книги С. А. Русакова^[3][10], Я. Ушана^[11] и A.M. Гальмака^[12][13][14].

Литература

1. ↑ Dörnte, W. Untersuchungen über einen verallgemeinerten Gruppenbegrieff. Math. Z. Bd. 29 (1928), 1-19.
2. ↑ ^{1 2} Post, E.L. Polyadic groups. Trans. Amer. Math. Soc. Vol.48, № 2 (1940), 208—350.
3. ↑ ^{1 2} Русаков, С. А. Алгебраические n-арные системы. Минск: Навука i тэхнiка, 1992.
4. ↑ Артамонов, В. А. Свободные n-группы. Мат. заметки. Т. 8, № 4 (1970), 499—507.
5. ↑ Артамонов, В. А. О шрайеровых многообразиях n-групп и n-полугрупп. Труды сем. им. И. Г. Петровского. 5(1979), 193—202.
6. ↑ Hosszứ, M. On the explicit form of n-group operations Publ. Math. V.10, № 1 — 4 (1963), 88-92.
7. ↑ Глускин, Л. М. Позиционные оперативы. Мат.сборник. Т.68(110), № 3 (1965),444-472.
8. ↑ Monk, J.D, Sioson, F.M. On the general theory of m-groups. Fund. Math. № 72 (1971), 233—244.
9. ↑ Glazek, K. Bibliographi of n-groups (poliadic groups) and same group like n-ary systems. Proc. of the sympos. n-ary structures. 1982, 259—289.
10. ↑ Русаков, С. А. Некоторые приложения теории n-групп. Минск: Беларуская навука, 1998.
11. ↑ Ušan, J. n-Groups in the light of the neutral operations. Mathematika Moravica. Special Vol, 2003.
12. ↑ Гальмак А. М. Конгруэнции полиадических групп. Минск: Беларуская навука, 1999.
13. ↑ Гальмак А. М. n-Арные группы. Часть 1 Гомель: Изд. ГГУ им. Ф. Скорины, 2003.
14. ↑ Гальмак А. М. n-Арные группы. Часть 2. Минск: Изд. центр БГУ,. 2007

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Викифицировать статью. Викифицировать список литературы, используя шаблон {{книга}}, и проставить ISBN. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Связать? Воспользоваться подсказкой и установить ссылки из других статей Википедии.