Погружение (топология)

У этого термина существуют и другие значения, см. Погружение.

Иное название этого понятия — «Иммерсия»; см. также другие значения.

В топологии, погружение или иммерсия — такое отображение $f:X\to Y$ одного топологического пространства в другое, при котором каждая точка в $X$ имеет окрестность $U$, которую $f$ гомеоморфно отображает на $f(U)$.

Это понятие применяется главным образом к отображению многообразий, где часто дополнительно требуется еще выполнение условия локальной плоскости. Последнее условие автоматически выполнено, если многообразия $X$ и $Y$ являются дифференцируемыми, и матрица Якоби отображения $f$ имеет в каждой точке максимальный ранг, равный размерности $X$.

Классификация погружений

Задача классификации погружений одного многообразия в другое с точностью до так называемой регулярной гомотопии сведена к чисто гомотопической задаче. В дифференцируемом случае, гомотопия $f_t:X\to Y$ называется регулярной, если матрица Якоби имеет максимальный ранг при каждом $t$ и непрерывно зависит от $t$. Дифференциал $D:TX\to TY$ погружения определяет послойный мономорфизм касательного расслоения $X$ в касательное расслоение $Y$. Регулярная гомотопия определяет гомотопию таких мономорфизмов.

Оказывается, что этим устанавливается биекция между классами регулярных гомотопий и гомотопическими классами мономорфизмов расслоений.

Задача погружения в евклидовы пространства сводится к задаче гомотопической классификации погружений в многообразия Штифеля $V_n^m$. Например, так как $\pi_2(V^3_2)=0$, то имеется только один класс погружений сферы $S^2$ в $\R^3$, так что стандартное вложение регулярно гомотопно своему зеркальному отражению (то есть сферу можно «регулярно вывернуть наизнанку», см. парадокс Смейла). Так как $\pi_1(V^2_1)=\Z$, то имеется счётное число классов погружений окружности в плоскость, а так как расслоение Штифеля над $S^2$ гомеоморфно проективному пространству $\R P^3$ и $\pi_1(\R P^3)=\Z_2$, то имеется только два класса погружений $S^1$ в $S^2$.

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставив сноски, внести более точные указания на источники.