Модель бинарного выбора

Модель бинарного выбора — применяемая в эконометрике модель зависимости бинарной переменной (принимающей всего два значения — 0 и 1) от совокупности факторов. Построение обычной линейной регрессии для таких переменных теоретически некорректно, так как условное математическое ожидание таких переменных равно вероятности того, что зависимая переменная примет значение 1, а линейная регрессия допускает и отрицательные значения и значения выше 1. Поэтому обычно используются некоторые интегральные функции распределения. Чаще всего используются нормальное распределение (пробит), логистическое распределение (логит) , распределение Гомперца (гомпит).

Сущность модели

Пусть переменная $Y$ является бинарной, то есть может принимать только два значения, которые для упрощения предполагаются равными $1$ и $0$. Например, $Y$ может означать наличие/отсутствие каких либо условий, успех или провал чего-либо, ответ да/нет в опросе и т. д. Пусть также имеется вектор регрессоров (факторов) $X$, которые оказывают влияние на $Y$.

Регрессионная модель имеет дело с условным по факторам математическим ожиданием зависимой переменной, которая в данном случае равна вероятности того, что зависимая переменная равна 1. В самом деле, по определению математического ожидания и с учетом всего двух возможных значений имеем:

$E(Y\mid X=x)=1 \cdot P(Y=1 \mid X=x)+0 \cdot P(Y=0 \mid X=x) =P(Y=1 \mid X=x)=p(x)$

В связи с этим применение, например, стандартной модели линейной регрессии $y=x^Tb+\varepsilon$ теоретически некорректно хотя бы потому, что вероятность по определению принимает ограниченные значения от 0 до 1. В связи с этим разумно моделировать $p(x)$ через интегральные функции тех или иных распределений.

Обычно предполагается, что имеется некая скрытая (не наблюдаемая) "обычная" переменная $Y^*$, в зависимости от значений которой наблюдаемая переменная $Y$ принимает значение 0 или единица:

$Y= \begin{cases} 1, Y^*>0\\ 0, Y^*<0 \end{cases}$

Предполагается, что скрытая переменная зависит от факторов $X$ в смысле обычной линейной регрессии $y^*=x^Tb+\varepsilon$, где случайная ошибка имеет распределение $F$. Тогда

$p(x)=P(Y^*>0|X=x)=P(x^Tb+\varepsilon>0)=P(\varepsilon>-x^Tb)=1-F(-x^Tb)$

Если распределение симметричное, то можно записать

$p(x)=F(x^Tb)$

Экономическая интерпретация

Ещё одно обоснование заключается в использовании понятия полезности альтернатив — не наблюдаемой функции $U(y,x)$, то есть фактически двух функций $U_1(x)=x^Tb_1+\varepsilon_1$ и $U_0(x)=x^Tb_0+\varepsilon_0$ соответственно для двух альтернатив. Логично предположить, что если при заданных значениях факторов полезность одной альтернативы больше полезности другой, то выбирается первая и наоборот. В связи с этим разумно рассмотреть функцию разности полезностей альтернатив $\Delta U(x)=U_1(x)-U_0(x)=x^T(b_1-b_0)+(\varepsilon_1-\varepsilon_0)=x^Tb+\varepsilon$. Если она больше нуля, то выбирается первая альтернатива, если меньше или равна нулю — то вторая. Таким образом, функция разности полезностей альтернатив здесь выполняет роль той самой скрытой переменной. Наличие случайной ошибки в моделях полезностей позволяет учесть не абсолютную детерминированность выбора (по крайней мене не детерминированность данным набором факторов, хотя элемент случайности выбора есть при любом наборе факторов).

Модели по видам распределений

Пробит. В пробит-модели в качестве $F$ используется интегральная функция стандартного нормального распределения $\Phi$:

$p(x)=1-\Phi(-x^Tb)=\Phi(x^Tb)$

Логит. В логит-модели используется CDF логистического распределения:

$p(x)=1-e^{-x^Tb}/(1+e^{-x^Tb})=e^{x^Tb}/(1+e^{x^Tb})$

Гомпит. Используется распределение экстремальных значений - распределение Гомперца:

$p(x)=1-(1-e^{e^{-x^Tb}})=e^{e^{-x^Tb}}$

Оценка параметров

Оценка обычно производится методом максимального правдоподобия. Пусть имеется выборка объёма $n$ факторов $X$ и зависимой переменной $Y$. Для данного номера наблюдения используем индекс $t$. Вероятность получения в наблюдении $t$ значения $y_t$ можно смоделировать следующим образом:

$P(Y=y_t) = p^{y_t}(x_t)(1-p(x_t))^{1-y_t} = (1-F(-x^T_tb))^{y_t}F^{1-y_t}(-x^T_tb)$

В самом деле, если $y_t=1$, то второй множитель очевидно равен 1, а первый как раз $p(x_t)$, если же $y_t=0$, то первый множитель равен единице, а второй — $(1-p(x_t))$. Предполагается, что данные независимы. Поэтому функцию правдоподобия можно получить как произведение вышеуказанных вероятностей:

$L(b)=\prod^n_{t=1} (1-F(-x^T_tb))^{y_t}F^{1-y_t}(-x^T_tb)$

Соответственно логарифмическая функция правдоподобия имеет вид:

$l(b)=\sum^n_{t=1} y_t \ln (1-F(-x^T_tb))+(1-y_t)\ln F(-x^T_tb)$

Максимизация данной функции по неизвестным параметрам позволяет получить состоятельные, асимптотически эффективные и асимптотически нормальные оценки параметров. Последнее означает, что:

$\sqrt{n}(\hat b - b)\ \xrightarrow{d}\ \mathcal{N}(0,\,\Omega^{-1}),$

где $\Omega^{-1}$ — асимптотическая ковариационная матрица оценок параметров, которая определяется стандартным для метода максимального правдоподобия способом (через гессиан или градиент логарифмической функции правдоподобия в оптимальной точке).

Показатели качества и тестирование модели

• Статистика отношения правдоподобия

$LR= 2(l_1-l_0)$,

где $l_1, l_0$ — значения логарифмической функции правдоподобия оцененной модели и ограниченной модели, в которой $p(x)$ является константой (не зависит от факторов x, исключая константу из множества факторов).

Данная статистика, как и в общем случае использования метода максимального правдоподобия, позволяет тестировать статистическую значимость модели в целом. Если её значение достаточно большое (больше критического значения распределения $\chi^2(k)$, где $k$-количество факторов (без константы) модели), то модель можно признать статистически значимой.

Также используются аналоги классического коэффициента детерминации, например:

• Псевдо-коэффициент детерминации:

$R^2_{pseudo} = 1-\frac {1}{1+LR/n}=\frac {LR}{LR+n}$

• Коэффициент детерминации МакФаддена (индекс отношения правдоподобия):

$R^2_{McFadden}=LRI = 1-l_1/l_0$

Оба показателя меняются в пределах от 0 до 1.

• Информационные критерии: информационный критерий Акаике (AIC), байесовский информационный критерий Шварца (BIC, SC), критерий Хеннана-Куина (HQ).

Важное значение имеет анализ доли правильных прогнозов в зависимости от выбранного порога классификации (с какого уровня вероятности принимается значение 1). Обычно применяется ROC-кривая для оценки качества модели и показатель AUC - площадь под ROC-кривой.

• Статистика Хосмера-Лемешоу (H-L, HL, Hosmer-Lemeshow). Для расчета данной статистики выборка разбивается на несколько подвыборок, по каждой из которых определяются — фактическая доля данных со значением зависимой переменной 1, то есть фактически среднее значение зависимой переменной по подвыборке

$p_j=\overline{y}_j=\sum^{n_j}_{i=1} {y}_{ij}/n_j$

и предсказанная средняя вероятность по подруппе

$\overline{\hat p}_j=\sum^{n_j}_{i=1}\hat {p}_{ij}/n_j$.

Тогда значение статистики HL определяется по формуле

$HL=\sum^J_{j=1}\frac {n_j(p_j-\overline {\hat{p}}_j)^2}{\overline {\hat{p}}_j (1-\overline {\hat{p}}_j)}$

Точное распределение данной статистики неизвестно, однако авторы методом симуляций установили, что оно аппроксимируется распределением $\chi^2(J-2)$.

• Статистика Эндрюса (Andrews)

См. также

• Пробит-регрессия
• Логит-регрессия
• ROC-кривая

Литература

• Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.

• Носко В.П. Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы). – М.: ИЭПП, 2005. С. 379.

• Greene, William H. (1997) Econometric Analysis, 3rd edition, Prentice-Hall.

• Andrews, Donald W.K. (1988) “Chi-Square Diagnostic Tests for Econometric Models: Theory,” Econometrica, 56, 1419–1453.

• Andrews, Donald W.K. (1988) “Chi-Square Diagnostic Tests for Econometric Models: Introduction and Applications,” Journal of Econometrics, 37, 135–156.

• Hosmer, David W. Jr. and Stanley Lemeshow (1989) Applied Logistic Regression, John Wiley & Sons.