Диффузионная модель эволюции процентных ставок

Диффузионная модель эволюции процентных ставок - математическая модель описания динамики процентных ставок в форме стохастического дифференциального уравнения диффузионного типа. Семейство моделей процентных ставок очень разнообразно, в него входят однофакторные (модели спот-ставки) и многофакторные модели, а также модели форвардной кривой.

Однофакторная модель краткосрочной ставки представляется в виде:

$dr=a(t,r(t)) dt +b(t,r(t)) dW_t$

где $W_t$ - винеровский процесс

На основании моделей эволюции спот-ставки получают модели кривой доходности и её эволюции. В случае однофакторных моделей эволюция кривой доходности ограничивается только параллельным сдвигом, вверх или вниз. Двухфакторные модели, описывающие короткую и длинную ставки, позволяют моделировать изменение наклона кривой. Дальнейшее увеличение количества факторов увеличивает число степеней свободы кривой доходности, например, трехфакторная модель позволяет описать вогнутую или "горбатую" кривую доходности.

Количество факторов, которые можно включать в модель, не ограничено, но из практических соображений обычно используют не более десяти факторов.

Модели форвардной кривой доходности обобщают многофакторные модели, поскольку в рамках одного уравнения описывают эволюцию всей кривой доходности. К форвардным относятся HJM и Libor Market Model.

Основные модели

Модель Мертона

Это простейшая модель, предложенная Мертоном в 1973 г., в котором a и b являются постоянными величинами:

$dr=\alpha dt +\sigma dW_t$

Модель Васичека

Модель предложена Васичеком в 1977 году. В рамках данной модели, предполагается, что процентная ставка колеблется вокруг некоторого среднего уровня:

$dr=\alpha(\beta - r_t)dt +\sigma dW_t$

Средний уровень процентной ставки здесь равен $\beta$.

В модели Васичека волатильность ставки не зависит от текущего значения ставки. Кроме того, теоретически модель Васичека допускает отрицательные ставки.

Модель Дотана (Рэндлмана-Бартера)

В данной модели a и b пропорциональны значению процентной ставки, то есть используется геометрическое броуновское движение, а значит исключаются отрицательные процентные ставки:

$dr=\alpha r_t dt +\sigma r_t dW_t$

Модель Кокса-Ингерсола-Росса

Данная модель является развитием модели Васичека в направлении учета зависимости волатильности от ставки. В данном случае волательность пропорциональна квадратному корню из ставки:

$dr=\alpha(\beta-r_t)dt +\sigma\sqrt {r_t} dW_t$

Модель Хо-Ли

$dr=\alpha_t dt +\sigma dW_t$

Модель Блэка-Дэрмана-Тоя

$d\ln(r) = [\theta_t + \frac{\sigma'_t}{\sigma_t}\ln(r)]dt + \sigma_t\, dW_t$

Модель Халла-Уайта

Если в модели Кокса-Ингерсола-Росса параметры считать не постоянными величинами, а функциями времени, то получим, модель Халла-Уайта, предложенную в 1990 году:

$dr=\alpha_t(\beta_t- r_t)dt +\sigma_t \sqrt{r_t} dW_t$

Модель Блэка-Карасинского

Модель предложена в 1991 году

$dr=r_t (\alpha_t-\beta_t \ln r_t)dt +\sigma_t r_t dW_t$

Модель Зандмана-Зондермана

Модель предложена в 1993 году:

$di=i_t (\alpha_t dt +\sigma_t dW_t)~,~~r=\ln(1+i)$

Модель Чена

В данной модели, предложенной в 1995 году, предполагается что коэффициенты базовой диффузионной модели являются также случайными процессами диффузионного типа:

$dr_t=(\alpha_t-r_t) dt +\sqrt {\sigma_t r_t} dW^r_t$

$d \alpha_t=(\alpha-\alpha_t) dt +\sqrt {\alpha_t} dW^{\alpha}_t$

$d \sigma_t=(\sigma-\sigma_t) dt +\sqrt {\sigma_t} dW^{\sigma}_t$

где $W^r_t, W^{\alpha}_t, W^{\sigma}_t$ - независимые винеровские процессы. Таким образом, модель является трехфакторной.

Модель Шмидта

Модель предложена в 1997 году и является обобщением многих других моделей и представляется в "явном" виде:

$r_t=F(f_t+g_tW_{T_t})$

$T_t~, F(x)~, f_t~, g_t$ - непрерывные функции, причем за исключением $f_t$ - неотрицательные.

Литература