Винеровский процесс

Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.

Определение

Случайный процесс $\{W_t\}_{t \ge 0}$ называется винеровским процессом, если

1. $W_0 = 0$ почти наверное.
2. $\{W_t\}$ — процесс с независимыми приращениями.
3. $W_t - W_s \sim \mathrm{N}(0,\sigma^{2}(t-s))~$, для любых $0\le s < t < \infty$, где $\mathrm{N}(0,\sigma^{2}(t-s))$ обозначает нормальное распределение со средним $0$ и дисперсией $\sigma^{2}(t-s)$. Величина $\sigma^2$ является постоянной для данного процесса.

Физический смысл

Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа $\sigma^2$ при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.

Непрерывность траекторий

Существуют винеровские процессы такие, что почти все их траектории непрерывны. Часто непрерывность траекторий включается в определение винеровского процесса.

Свойства винеровского процесса

• $\{W_t\}$ — гауссовский процесс.
• $\{W_t\}$ — марковский процесс.
• Очевидно, $W_t \sim \mathrm{N}(0,t)~$. В частности:

$\mathbb{E}[W_t] = 0$,

$\mathrm{D}[W_t] = t$.

• $\mathrm{cov}(W_s,W_t) = \min(s,t)$.

• Винеровский процесс автомоделен. Если $\{W_t\}$ — винеровский процесс, и $c > 0$, то

$W^c_t \equiv \frac{1}{\sqrt{c}} W(c\,t)$

также является винеровским процессом.

• Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией.

• Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное. Производная (в обобщенном смысле) винеровского процесса - нормальный белый шум.

• Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное

• $\limsup\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{W(t,\omega)}{\sqrt{2t\ln\ln t}}=1$

Многомерный винеровский процесс

Многомерный ($n$-мерный) винеровский процесс $\mathbf{W}_t$ — это $\mathrm{R}^n$-значный случайный процесс, составленный из $n$ независимых одномерных винеровских процессов, то есть

$\mathbf{W}_t = \left( W^1_t,\ldots, W^n_t\right)^{\top}, \quad t \ge 0$,

где процессы $\left\{W^i_t\right\},\; i = 1,\ldots,n$ совместно независимы.

Ссылки

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

См. также

• Норберт Винер