Теорема тангенсов

Рис. 1. Треугольник

В тригонометрии, теорема тангенсов^[1] — это теорема, связывающая между собой тангенсы двух углов треугольника и длины сторон, противоположные этим углам.

На рис. 1, a, b, и c — это длины трёх сторон треугольника, и α, β, и γ — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы). Теорема тангенсов утверждает, что

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{\mathrm{tg}[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\mathrm{tg}[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.$

Теорема тангенсов, хотя не настолько широко известна как теорема синусов или теорема косинусов, достаточна полезна, и может быть использована в тех случаях, когда известны две стороны и один угол, или два угла и одна сторона.

Теорема тангенсов для сферических углов была описана в XIII веке персидским математиком Насиром ад-Дином Ат-Туси (1201-74), который также привёл теорему синусов для плоских треугольников в своей пятитомной работе Трактат о полном четырёхугольнике.^[2][3]

Теорему также называют формулой Региомонтана по имени немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (лат. Regiomontanus), установившего эту формулу. И. Мюллера называли «Кёнигсбержец»: по-немецки König — король, Berg — гора, а по-латински «король» и «гора» в родительном падеже — regis и montis. Отсюда «Региомонтан» — латинизированная фамилия И. Мюллера.^[4]

Доказательство

Доказать теорему тангенсов можно с помощью теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}.$

Пусть

$d = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta},$

откуда

$a = d \sin\alpha \text{ and }b = d \sin\beta. \,$

Отсюда следует, что

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{d \sin \alpha - d\sin\beta}{d\sin\alpha + d\sin\beta} = \frac{\sin \alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}.$

Используя известное тригонометрическое тождество

$\sin(\alpha) \pm \sin(\beta) = 2 \sin\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha \mp \beta}{2} \right), \;$

получаем

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{2\sin\tfrac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)\cos\tfrac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)}{2\sin\tfrac{1}{2}\left(\alpha+\beta \right)\cos\tfrac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)} = \frac{\mathrm{tg}[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\mathrm{tg}[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}. \qquad\blacksquare$

Вместо формулы для суммы и разности синусов двух углов, в доказательстве можно использовать следующее известное тождество

$\mathrm{tg}\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) = \frac{\sin\alpha \pm \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}$.

См. также

• Теорема синусов
• Теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Формулы Мольвейде
• Формула половины стороны

Примечания

1. ↑ See Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002.
2. ↑ Marie-Thérèse Debarnot Trigonometry // Encyclopedia of the history of Arabic science, Volume 2 / Rushdī Rāshid, Régis Morelon. — Routledge, 1996. — P. 182. — ISBN 0415124115
3. ↑ Q. Mushtaq, JL Berggren Trigonometry // History of Civilizations of Central Asia, Volume 4, Part 2 / C. E. Bosworth, M.S.Asimov. — Motilal Banarsidass Publ., 2002. — P. 190. — ISBN 8120815963
4. ↑ «Толковый словарь математических терминов», О. В. Мантуров