- Теорема Мори
-
Теорема Мори (англ. Morrie's law) — это случайное название следующего тригонометрического тождества:
Это частный случай более общего тождества
при n = 3 и α = 20°. «Теорема Мори» получила своё название благодаря Ричарду Фейнману, который использовал это тождество именно под этим именем. Фейнман употреблял это название потому, что в детстве он узнал указанное тождество от мальчика по имени Мори Якобс и впоследствии запомнил теорему на всю жизнь именно под этим именем.[1]
Подобное соотношение для синуса также имеет место:
Более того, разделив второе тождество на первое, получим тождество для тангенса:
Доказательство
Используем известную формулу для синуса двойного угла
Выразив отсюда , получим
Тогда имеем
Перемножая соответственно левые части этих равенств друг на друга, и правые части - друг на друга, получаем:
После сокращения дробей останется синус из последнего числителя и синус из первого знаменателя, а также 2 в степени n в знаменателе:
Это тождество представляет собой общую форму записи теоремы Мори.
Примечания
- ↑ W.A. Beyer, J.D. Louck, and D. Zeilberger, A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life, Math. Mag. 69, 43-44, 1996.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Morrie's Law (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Категории:- Тождества
- Тригонометрия
Wikimedia Foundation. 2010.