- Сопряжённые функторы
-
Сопряжённые функторы в математике и в частности в теорий категорий — это пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики.
Неформально функторы F и G сопряжены, если они удовлетворяют соотношению
Содержание
Формальные определения
Существуют несколько эквивалентных определений сопряжённых функторов, которые употребляются в литературе. Ниже приводится одно из этих определений.
Пара сопряжённых функторов между категориями C и D состоит из функторов и биекций
для каждых объектов X из C и Y из D, естественных по обоим аргументам. Естественность означает, что для каждого морфизма в C и для каждого морфизма в D следующая диаграмма коммутативна:
F называется левым сопряжённым функтором G, а G — правым сопряжённым функтором F. Каждый функтор может иметь не более одного, с точностью до естественного изоморфизма, левого (правого) сопряжённого функтора.
Единица и коединица
Каждая пара сопряжённых функторов определяет единицу сопряжения, естественное преобразование из в GF, состоящее из морфизмов
для каждого X в C. определяется как
Аналогично, определяется коединица , естественное преобразование из FG в , состоящее из морфизмов
для каждого Y в D. определяется как
Частным случаем сопряжения является эквивалентность категорий. В этом случае единица и коединица являются изоморфизмами.
Профункторы
Вообще говоря, функтор не обязан иметь правый или левый сопряжённый. Тем удивительнее, что можно ввести естественное обобщение понятия функтора — профунктор, так что любой функтор имеет правый сопряжённый в смысле профункторов. А именно, профунктор из категории в категорию — это функтор . Вложение Йонеды , порождает вложение функторов в профункторы по правилу
Теорема: Профунктор имеет правый сопряжённый тогда и только тогда, когда он имеет вид для некоторого функтора .
Литература
- С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
- F. Borceux Handbook of Categorical Algebra 1. Basic Category Theory. — Encyclopaedia of Mathematics and its Applications. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — Т. 1. — 345 p. — ISBN 0 521 44178 1
Категория:- Теория категорий
Wikimedia Foundation. 2010.