- Производная обратной функции
-
Пусть - дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале . Если в уравнении y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция , где - функция обратная данной.
Содержание
Теорема (о дифференцировании обратной функции)
Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е
ДоказательствоПусть - дифференцируемая функция, .
Пусть - приращение независимой переменной y и - соответствующее приращение обратной функции .
Напишем тождествоПереходя в этом равенстве к пределу при , которое влечет за собой стремление к нулю (), получим:
- , где - производная обратной функции.
Замечание
Если пользоваться обозначениями Лейбница, то выше доказанная формула примет видПримеры
- ,
- ,
- [1] .
См. также
- Производная
- Таблица производных
- Дифференцирование сложной функции
- Дифференцируемая функция
- Основная теорема анализа
- Геометрический смысл производной
- Частная производная
Примечания
- ↑ считаем здесь y независимой переменной
Литература
- А. В. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0
Категория:- Дифференциальное исчисление
Wikimedia Foundation. 2010.