Нотация Фойгта

Нотация Фойгта — матричная форма записи симметричного тензора 4-го ранга. Впервые была предложена немецким физиком В.Фойгтом для тензора упругости в формулировке закона Гука для анизотропных материалов.

Обозначения

Если тензор 4-ранга $~c_{ijkl}$ обладает симметрией по первой и второй паре индексов

$~c_{ijkl}=c_{jikl}$,

$~c_{ijkl}=c_{ijlk}$,

то его элементы могут быть записаны в виде матрицы 6x6, используя следующую подстановку индексов:

$~11 \rightarrow 1$

$~22 \rightarrow 2$

$~33 \rightarrow 3$

$~23, 32 \rightarrow 4$

$~13, 31 \rightarrow 5$

$~12, 21 \rightarrow 6$.

Например, компонента $~c_{3122}$ будет соответствовать элементу матрицы $~C_{52}$.

Используя те же подстановки индексов, можно записывать симметричные тензоры 2-ранга в виде 6-векторов. При таком представлении, результат умножения тензоров, вообще говоря, не соответствуют результату перемножения матриц. Для того, чтобы операция тензорного умножения могла быть записана в виде умножения матриц, может потребоваться введение дополнительных множителей.

Матричная запись закона Гука

Основная статья: Закон Гука

Закон Гука в тензорном виде имеет вид (здесь и далее используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам):

$~\sigma_{ij}=c_{ijkl} \varepsilon_{kl}$,

где $~\sigma_{ij}$ и $~\varepsilon_{kl}$ — тензоры напряжения и деформации. Так как эти тензоры являются симметричными, то тензор модулей упругости $~c_{ijkl}$ обладает необходимой степенью симметрии для того, чтобы его возможно было записать в матричном виде. Более того, из соотношения

$~c_{ijkl}=\frac{\partial^2 F}{\partial \varepsilon_{ij} \partial \varepsilon_{kl}}$,

где F — свободная энергия в случае изотермической деформации, или внутренняя энергия при адиабатической деформации, следует $~c_{ijkl}=c_{klij}$. Отсюда следует, что существует только 21 линейно независимая компонента тензора упругих постоянных.^[1] Поэтому матрица $~C_{\alpha\beta}$, составленная из компонент $~c_{ijkl}$, будет симметричной. Закон Гука может быть записан в следующем виде:

$~\sigma_\alpha = C_{\alpha\beta} \epsilon_\beta$,

где индексы $~\alpha, \beta$ пробегают значения от 1 до 6, или:

$\begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & c_{1123} & c_{1113} & c_{1112} \\ \cdot & c_{2222} & c_{2233} & c_{2223} & c_{2213} & c_{2212} \\ \cdot & \cdot & c_{3333} & c_{3323} & c_{3313} & c_{3312} \\ \cdot & \cdot & \cdot & c_{2323} & c_{2313} & c_{2312} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & c_{1313} & c_{1312} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & c_{1212} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12}\end{pmatrix}$

В данной записи коэффициент 2 при компонентах тензора деформации $~\varepsilon_{23}$, $~\varepsilon_{13}$, $~\varepsilon_{12}$ необходим для того, чтобы матричные уравнения в точности соответствовали тензорным. Например, в законе Гука в уравнение для компоненты $~\sigma_{11}$ входит слагаемое $~c_{1123} \varepsilon_{23} + c_{1132} \varepsilon_{32}$, которое в матричной записи соответствует слагаемому $~c_{1123} 2\varepsilon_{23}$.

Закон Гука может быть записан в эквивалентной тензорной форме, через тензор модулей податливости $~s_{ijkl}$:

$~\varepsilon_{ij}=s_{ijkl} \sigma_{kl}$

Тензор $~s_{ijkl}$ характеризуется той же степенью симметрии, что и $~c_{ijkl}$. Поэтому его компоненты тоже можно записать в виде матрицы 6x6 элементов. Однако данная матрица не будет обратной к матрице $~C_{\alpha\beta}$.

Обратное матричное уравнение $~\epsilon_\alpha = S_{\alpha\beta} \sigma_\beta$, где $~S = C^{-1}$, выглядит следующим образом:

$\begin{pmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_{1111} & s_{1122} & s_{1133} & 2s_{1123} & 2s_{1113} & 2s_{1112} \\ \cdot & s_{2222} & s_{2233} & 2s_{2223} & 2s_{2213} & 2s_{2212} \\ \cdot & \cdot & s_{3333} & 2s_{3323} & 2s_{3313} & 2s_{3312} \\ \cdot & \cdot & \cdot & 4s_{2323} & 4s_{2313} & 4s_{2312} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 4s_{1313} & 4s_{1312} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 4s_{1212} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12}\end{pmatrix}$

Примеры

Тензор упругости изотропного материала

Упругие свойства определяются 2 постоянными (в данном примере — постоянными Лямэ $\lambda$ и $\mu$)

$\begin{pmatrix} \lambda+2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda+2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda+2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \\ \end{pmatrix}$

Тензор упругости материала с гексагональной симметрией

Тело, обладающее гексагональной симметрией, характеризуется наличием оси симметрии (в данном случае $x_3$), при повороте вокруг которой свойства не меняются. Описывается 5 независимыми упругими постоянными.

$\begin{pmatrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & 0 & 0 & 0 \\ c_{1122} & c_{1111} & c_{1133} & 0 & 0 & 0 \\ c_{1133} & c_{1133} & c_{3333} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{2323} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{2323} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}(c_{1111}-c_{1122}) \\ \end{pmatrix}$

Единичная матрица

Единичной матрице соответствует единичный «симметризующий» тензор $~I$:

$~I_{ijkl}=\frac{1}{2}(\delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk})$

См. также

• Закон Гука
• тензор

Примечания

1. ↑ Фильтры на поверхностных акустических волнах (расчёт, технология и применение) = Surface wave filters: design, constructin, and use / Под ред. В. Б. Акпамбетова. — М.: Радио и связь, 1981. — С. 11. — 472 с. — 5000 экз.

Литература

1. М.А. Акивис, В.В. Гольдберг Тензорное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 352 с.
2. В. Новацкий Теория упругости / пер. Б. Е. Победря. — М.: "Мир", 1975. — 871 с.
3. Т.Д. Шермергор Теория упругости микронеоднородных сред. — М.: "Наука", 1977. — 399 с.