Пространство Харди

В комплексном анализе пространство Харди является аналогом $L^p$-пространства в функциональном анализе.

Определение

Пространство Харди $\ H^p$ при $0<p<\infty$ — это класс голоморфных функций на открытом единичном круге на комплексной плоскости, удовлетворяющих следующему условию

$\sup_{0<r<1} \left(\frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} \left[f(re^{i\theta})\right]^p \; d\theta\right)^\frac{1}{p}<\infty.$

Левая часть этого неравенства называется $\ p$-нормой в пространстве Харди или просто нормой Харди для $\ f$, и обозначается $\ |f|_{H^p}$. Как и в случае $L^p$-пространств, данная норма обобщается на случай $p=\infty$ как

$|f|_{H^\infty}\ =\ \sup_{0<r<1} \sup_{z:\ |z|=r} |f(z)|\ =\ \sup_{z:\ |z|<1} |f(z)|.$

Для случая $0<p<q\le\infty$ можно показать, что $\ H^q$ является подмножеством множества $\ H^p$.

Применения

Подобные пространства имеют ряд приложений как в математическом анализе, так и в других дисциплинах, например, гармоническом анализе, теории управления (в частности, для синтеза робастных систем управления) и теории рассеивания.

См. также

• H∞-управление
• Теорема Фату