H∞-управление

H на бесконечности или $\mathcal{H}_\infty$ — метод теории управления для синтеза оптимальных регуляторов. Метод является оптимизационным, имеющим дело со строгим математическим описанием предполагаемого поведения замкнутой системы и её устойчивости. Метод примечателен своей строгой математической базой, оптимизационным характером и применимостью как к классическому, так и робастному управлению.

$\mathcal{H}$ является нормой в пространстве Харди. «Бесконечность» говорит о выполнении минимаксных условий в частотной области. $\mathcal{H}_\infty$-норма динамической системы, имеющая смысл максимального усиления системы по энергии. В случае MIMO-систем она равна максимальному сингулярному числу передаточной функции системы, в случае SISO-систем она равна максимальному значению амплитуды её частотной характеристики.

Постановка задачи

Сначала система должна быть приведена к стандартному виду:

Объект управления $\ P$ имеет два входа, два внешних воздействия $\ w$, которые включают задаточный сигнал и возмущения. Контролируемая переменная обозначена $\ u$. Это вектор выходных сигналов системы, состоящий из сигнала ошибки $\ z$, который надо минимизировать и измеренная переменная $\ v$, которая используется в контуре управления. $\ v$ используется в K для подсчёта переменной $\ u$.

Уравнение системы:

$\begin{bmatrix} z\\ v \end{bmatrix} = P(s)\, \begin{bmatrix} w\\ u\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}P_{11}(s) & P_{12}(s)\\P_{21}(s) & P_{22}(s)\end{bmatrix} \, \begin{bmatrix} w\\ u\end{bmatrix}$

$u = K(s) \, v$

Таким образом возможно выразить зависимость $\ z$ от $\ w$:

$z=F_l(P,K)\,w$

И далее:

$F_l(P,K) = P_{11} + P_{12}\,K\,(I-P_{22}\,K)^{-1}\,P_{21}$

Таким образом, целью $\mathcal{H}_\infty$-оптимального управления является синтез такого контроллера $\ K$, $\ F_l(P,K)$, который минимизировал бы $\mathcal{H}_\infty$-норму системы. То же относится и к $\mathcal{H}_2$-управлению. Норма на бесконечности матрицы$\ F_l(P,K)$ определяется как:

$||F_l(P,K)||_\infty = \sup_\omega \bar{\sigma}(F_l(P,K)(j\omega))$

где $\bar{\sigma}$ — максимальное сингулярное число матрицы $\ F_l(P,K)(j\omega)$.

Найденный таким образом контроллер является оптимальным в $\mathcal{H}_\infty$-смысле. Существует также ряд приложений, в которых решается так называемая «задача малого усиления (англ. small gain problem)». В рамках этой задачи необходимо найти такой контроллер, который бы обеспечивал выполнение условия

$min(||F_l(P,K)||_\infty) \le 1$.

Эта задача иногда также называется «стандартной задачей $\mathcal{H}_\infty$-управления».

Преимущества и недостатки

H∞-управление имеет несколько особенностей в сравнении с другими методами синтеза робастных контроллеров. К преимуществам можно отнести:

• Метод работает с устойчивостью и чувствительностью системы.
• Простой одношаговый алгоритм.
• Точное формирование выходной частотной характеристики.

К недостаткам можно отнести то, что метод требует обращать особое внимание на параметрическую робастность объекта управления.

Свойства $\mathcal{H}_\infty$-контроллеров

1. Весовая функция $\mathcal{H}_\infty$-оптимального контроллера представляет собой фазовый фильтр, то есть для наименьшего сингулярного числа системы $\bar{ \sigma\ }$ выполняется соотношение:

$\bar{ \sigma\ }(F_l(P,K)) = 1$ для любого $\omega\ \in R$

2. $\mathcal{H}_\infty$-оптимальный контроллер имеет порядок максимум $\ n-1$, где $\ n$ — порядок объекта управления.

Условия существования $\mathcal{H}_\infty$-контроллеров

Для того, чтобы существовал $\mathcal{H}_\infty$-контроллер в стандартной задаче:

$min(||F_l(P,K)||_\infty) \le 1$

необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1. Представим замкнутую систему в виде уравнений в пространстве состояний:

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)$

$\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)$

Должен существовать закон пропорционального управления $\ F(s) = K$ такой, чтобы наибольшее сингулярное число матрицы $\ D$ замкнутой системы удовлетворяло неравенству $\sigma_n\ (D) < 1$

2. Уравнение Риккати для управления

Уравнение Риккати для управления по состояниям должно иметь вещественное, положительно-определённое решение $P \ge 0 \!$.

3. Уравнение Риккати для наблюдателя

Уравнение Риккати для наблюдателя, работающего в паре с контроллером, должно иметь вещественное, положительно-определённое решение $S \ge 0 \!$.

4. Ограничение по собственным числам:

Наибольшее собственное число произведения двух решений (для контроллера и наблюдателя) уравнений Риккати должно быть меньше единицы: $\lambda_{max}(PS) < 1 \!$

См. также

• Робастное управление
• H2-управление

Библиография

• Егупов Н. Д., Пупков К. А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Синтез регуляторов систем автоматического управления. В 5 тт. Т. 3, Изд.2. 2004.616 с.
• R. Y. Chiang, Modern Robust Control Theory. Ph. D. Dissertation: USC,1988.