Линейный непрерывный оператор

Линейный непрерывный оператор, действующий из $X$ в $Y$($A:X\rightarrow Y$) - это линейное отображение из $X$ в $Y$, обладающее свойством непрерывности.

Термин линейный непрерывный оператор обычно употребляют в случае, когда $Y\neq\mathbb R,\mathbb C$. Если $Y=\mathbb R$ или $Y=\mathbb C$, то принято использовать термин линейный непрерывный функционал^[1].

Теория линейных непрерывных операторов играет важную роль в функциональном анализе, математической физике и вычислительной математике.

Математическое определение

Пусть $A:X\rightarrow Y$ - линейный оператор, действующий из векторного пространства $X$ в векторное пространство $Y$. Тогда оператор $A$ является непрерывным если, для любой последовательности $\{x_n\}$ точек $X$, из $x_n\rightarrow x_0$ следует $A x_n\rightarrow Ax_0$.

Свойства линейного непрерывного оператора $A$ сильно зависят от свойств пространств $X$ и $Y$. Например, если $X$ - конечномерное пространство, то оператор $A$ будет вполне непрерывным оператором, область его значений $R(A)$ будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицы^[2].

Свойства

• Всякий линейный непрерывный оператор ограничен. Обратное верно не всегда в общем случае. Однако, если оператор действует в нормированных пространствах, то верно и обратное - всякий линейный ограниченный оператор непрерывен.
• Если линейный оператор $A:X\rightarrow Y$ непрерывен хотя бы в одной точке $x\in X$, то он непрерывен в каждой точке $X$.
• Пусть ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty x_n=s$ сходится и $A:X\rightarrow Y$ — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство

$\sum\limits_{n=1}^\infty Ax_n=As$.

Это означает, что к сходящимся рядам в линейных пространствах линейный оператор можно применять почленно.

• Множество всех линейных непрерывных операторов из $X$ в $Y$ ($L(X,Y)$) есть нормированное пространство. Нормой в этом пространстве будет норма оператора.
• Если $X,Y$ — банаховы пространства, то оператор A переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся:

если $x_n\to x$ слабо, то $Ax_n\to Ax$ слабо.

Связанные определения

• Линейный оператор называется ограниченным снизу, если $\exist k>0,\forall x\in X, \|Ax\|\geq k\|x\|$.

См. также

• Сопряжённый оператор

Литература

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.

Примечания

1. ↑ Линейные непрерывные функционалы обладают специфическими свойствами, не имеющими места в общем случае, и порождают особенные математические структуры, поэтому теорию линейных непрерывных функционалов рассматривают отдельно от общей теории.
2. ↑ Также, в конечномерном пространстве $X$ с базисом $\{x_k\}_{k=1}^n$, линейный непрерывный оператор $A$ можно представить в виде $Ax=f_1(x)x_1+f_2(x)x_2+...+f_n(x)x_n,\forall x\in X$, где $f_k\in X^*$ - функции из сопряжённого пространства.