Круговое поле

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле $K_n = \mathbb {Q}(u)$, порождённое присоединением к полю рациональных чисел $\mathbb {Q}$ первообразного корня n-й степени из единицы $u$. Круговое поле является подполем поля комплексных чисел.

Название поля связано с тем, что деление единичной окружности на n равных частей равносильно построению первообразного корня из единицы n-й степени на комплексной плоскости. Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: $K_3$ состоит из комплексных чисел вида $a+b \sqrt{3}\ i$, где $a, b$ — рациональные числа.

Свойства

• Круговое поле содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними. Оно не зависит от выбора первообразного корня n-й степени из единицы.
  • Следствие: круговое поле является полем разложения многочлена $x^n-1$.
• $K_{4n+2} = K_{2n+1}$, поэтому обычно предполагается, что остаток от деления n на 4 не равен 2 ($n \not \equiv 2 \pmod{4}$). При выполнении этого условия разным n соответствуют неизоморфные круговые поля.
• Поле $K_n$ является абелевым расширением поля ${\mathbb Q}$ с группой Галуа $G (K_n / {\mathbb Q}) \simeq (\Z/n\Z)^*,$

где $(\Z/n\Z)^*$ — мультипликативная группа классов вычетов по модулю n. Степень расширения $[K_n : {\mathbb Q}]$ равна φ(n) (функция Эйлера).

Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

См. также

• Круговой многочлен

Литература

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975.

Ссылки

• Milne, James S. Algebraic Number Theory. Course Notes (1998). Архивировано из первоисточника 2 апреля 2012.