Поле разложения

По́ле разложе́ния многочлена p над полем $K$ — наименьшее расширение поля, над которым $p$ разлагается в произведение линейных множителей:

$p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n),\ x_1,\dots,x_n\in L, L\supset K.$

При этом $L= K(x_1,\dots,x_n)$, поэтому о поле $L$ разложения говорят как расширении, полученном присоединением к $K$ всех корней данного многочлена.

Аналогично вводится понятие поля разложения семейства многочленов $p_i(x), i\in I$ — такого расширения L, что каждый p_i разлагается в L[x] на линейные множители и L порождается над K всеми корнями p_i. Поле разложения конечного множества многочленов p₁,p₂,...p_n, будет, очевидно, полем разложения их произведения p=p₁p₂...p_n

Поля разложения — это в точности то же, что и нормальные расширения

Свойства

• Поле разложения конечного семейства многочленов является конечным алгебраическим расширением поля $K$.
• Поле разложения многочлена существует для любого семейства многочлена p_i и определено однозначно с точностью до изоморфизма, тождественного на K.

Примеры

• Если степень многочлена $p$ не превосходит $1$, то $L=K$.
• Поле комплексных чисел $\mathbb C$ служит полем разложения многочлена $x^2+1$ над полем $\R$ вещественных чисел.
• Любое конечное поле $GF (q)$, где $q=p^n$, есть поле разложения многочлена многочлена $x^q-x$ над простым подполем $GF(p)\subset GF(q)$.

Литература

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967