Нётеров оператор

Нётеровым оператором называется оператор, у которого и ядро, и коядро конечномерны.

Определение

Пусть X, Y — банаховы пространства. Оператор $T\in\mathcal{B}(X,\;Y)$ называют нётеровым, если

• $\mathrm{dim} \, \ker T < \infty$
• $\mathrm{dim}\;\mathrm{coker}\,T < \infty$

Нётеровость оператора обычно обозначают как $T\in\mathcal{N}(X,\;Y)$. В конченомерных X,Y, например, любой линейный оператор является нётеровым.

Следует также отметить, что в силу своего определения, нётеров оператор всегда нормально разрешим.

Индекс нётерова оператора

Для таких операторов имеет смысл понятие индекса оператора:

$\mathrm{ind} \, T = \mathrm{dim} \,\ker T - \mathrm{dim} \; \mathrm{coker}\,T$

Более того, для каждого конкретно заданного $n\in\mathbb{Z}$ существует нётеров оператор с индексом n.

Фредгольмовы операторы

Оператор T называется фредгольмовым, если

• $T\in\mathcal{N}(X,\;Y)$
• $\mathrm{ind} \, T = 0$

Например, любой непрерывно обратимый линейный оператор, обладает ядром и коядром нулевых размерностей, а посему является фредгольмовым.

Данный класс нётеровых операторов обладает особыми свойствами, и поэтому часто рассматривается отдельно.

Преобразования нётеровых операторов

• Сопряженный к нётерову оператору тоже нётеров: $T\in\mathcal{N}(X,\;Y) \Leftrightarrow T^{'}\in\mathcal{N}(Y^{'},\;X^{'})$. Более того, существует взаимооднозначная связь между индексами этих операторов: $\mathrm{ind} \, T^{'} = -\mathrm{ind} \, T$
• Композиция нётеровых операторов — нётеров оператор, а индекс его есть $\mathrm{ind} \, TS = \mathrm{ind} \, T + \mathrm{ind} \, S$ (теорема Аткинсона)
• Компактное возмущение сохраняет нётеровость и индекс оператора: $T\in\mathcal{N}(X,\;Y),\;S\in\mathcal{K}(X,\;Y)\Rightarrow T+S\in\mathcal{N}(X,\;Y) , \; \mathrm{ind} \, (T+S) = \mathrm{ind} \, T$
• Нётеровость и индекс также сохраняются при достаточно малых ограниченных возмущениях, то есть $\forall T\in\mathcal{N}(X,\;Y) \; \exists \varepsilon : \, \forall S\in\mathcal{B}(X,\;Y), \|S\| \leqslant \varepsilon \Rightarrow T+S\in\mathcal{N}(X,\;Y) , \; \mathrm{ind} \, (T+S) = \mathrm{ind} \, T$. Иначе говоря, множество $\mathcal{N}(X,\;Y)$ является открытым в множестве $\mathcal{B}(X,\;Y)$ ограниченных операторов.

Теорема Фредгольма

$K\in\mathcal{K}(X,\;X) \Rightarrow (\mathrm{I_X}-K)$ — фредгольмов (здесь $\mathrm{I_X}$ — тождественный оператор на X).

Критерии нётеровости

• Критерий Нётера: T — нётеров $\Leftrightarrow \exists L,\,R$ — правый и левый регуляризаторы для T. В эквивалентной формулировке это звучит как: T нётеров если, и только если T почти обратим.
• Критерий Никольского: T — нётеров тогда, и только тогда, когда T разложим в сумму S+K, где S — обратим, а K — компактен. Или, что то же самое: $\mathcal{N}(X,\;Y) = \mathrm{Inv}(X,\;Y)\,+\,\mathcal{K}(X,\;Y)$, где $\mathrm{Inv}(X,\;Y)$ — множество обратимых линейных операторов.

Литература

• Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9.