- Дифференциал (дифференциальная геометрия)
-
Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.
Содержание
Необходимые знания
Для полного понимания этой статьи от читателя требуется начальные предствления о гладких многообразиях и их касательных пространствах.
Обозначения
Обычно дифференциал обозначается . Некоторые авторы предпочитают обозначать шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке обозначается , а иногда или . ( есть линейная функция на касательном пространстве в точке .)
Если есть касательный вектор в точке , то значение дифференциала на обычно обозначается , в этом обозначении излишне, но обозначения , и также правомерны.
Используется так же обозначение ; последнее свазано с тем, что дифференциал является естественным поднятием на косательные расслоения к многообразиям и .
Определения
Для вещественнозначных функций
Пусть — гладкое многообразие и гладкая функция. Дифференциал представляет из себя 1-форму на , обычно обозначается и определяется соотношением
где обозначает производную по направлению касательного вектора в точке .
Для отображений гладких многообразий
Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие есть отображение между их касательными расслоениями, , такое что для любой гладкой функции имеем
где обозначает производную по направлению . (В левой части равенства берётся производная в функции по ; в правой — в функции по ).
Это понятие естественным образом обобщает понятия дифференциала функции.
Связанные определения
- Точка многообразия называется критической точкой отображения , если дифференциал не является сюрьективным. (см. также теорема Сарда)
- В этом случае называется критическим значением .
- Точка называется регулярной, если она не является критической.
- Гладкое отображение называется субмерсией, если для любой точки , дифференциал сюръективен.
- Гладкое отображение называется гладким погружением, если для любой точки , дифференциал инъективен.
Свойства
- Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:
- или
Примеры
- Пусть в открытом множестве задана гладкая функция . Тогда , где обозначает производную , а является постоянной формой, определяемой .
- Пусть в открытом множестве задана гладкая функция . Тогда . Форма может быть определена соотношением , для вектора .
- Пусть в открытом множестве задано гладкое отображение . Тогда
- где есть матрица Якоби отображения в точке .
См. также
Для улучшения этой статьи желательно?: - Проставив сноски, внести более точные указания на источники.
- Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категории:- Дифференциальная геометрия и топология
- Дифференциальное исчисление
- Точка многообразия называется критической точкой отображения , если дифференциал не является сюрьективным. (см. также теорема Сарда)
Wikimedia Foundation. 2010.