Тихоновское произведение топологических пространств

Тихоновское (декартово) произведение топологических пространств — топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, топология которого задается с наложением ограничения, называемого тихоновской топологией произведения семейства топологических пространств. Эта конструкция является произведением в категории всех топологических пространств, то есть для любой пары $(X, \{f_\alpha \})$, где $f_\alpha: X\to X_\alpha$ — отображение некоторого пространства $X$ в пространства-сомножители, существует единственное отображение

$f:X\to \prod_\alpha X_\alpha$

такое что для всех проекций $\pi_\alpha$ на пространства-сомножители верно $f_\alpha = \pi_\alpha \circ f$. В некотором смысле произведение пространств — это наиболее общее пространство, которое можно из них построить.

Определения

Пусть $\{X_{\alpha}: \alpha\in A\}$ — семейство топологических пространств, A — индексное множество этого семейства,

$X=\prod\limits_{\alpha\in A}X_{\alpha}$ — их декартово произведение,

$\pi_{\alpha}: X\to X_{\alpha}$ — проекция произведения на соответствующий сомножитель,

$\mathfrak{T}_{\alpha}$ — топология (множество всех открытых множеств) пространства $X_{\alpha}$.

Тихоновская топология на произведении топологических пространств — это минимальная топология, в которой все проекции на исходные пространства $\pi_{\alpha}$ непрерывны.

Конструктивно её можно также описать следующим образом: в качестве предбазы топологии на X берётся семейство множеств $\mathfrak{P}=\{\pi_{\alpha}^{-1}(U): \alpha\in A,\, U\in \mathfrak{T}_{\alpha}\}$. База топологии — всевозможные конечные пересечения множеств из $\mathfrak{P}$, а топология — всевозможные объединения множеств из базы.

Отметим, что тихоновская топология является гораздо более слабой, чем несколько более естественная «коробочная» топология, для которой базу топологии образуют всевозможные произведения открытых подмножеств перемножаемых пространств. Такая топология не обладает указанным выше свойством универсальности и для неё не верна теорема Тихонова.

Компактность тихоновских произведений

Теорема Тихонова. Если все множества $X_{\alpha}$ компактны, тогда компактно и их тихоновское произведение.

Доказательство. Согласно теореме Александера о предбазе, достаточно доказать, что всякое покрытие элементами предбазы $\mathfrak{P}$ допускает конечное подпокрытие. Для всякого $\alpha$ пусть $V_{\alpha}$ — объединение всех множеств $U\in X_{\alpha}$, для которых множество $\pi_{\alpha}^{-1}(U)$ содержится в покрытии. Тогда непокрытая часть пространства X, выражается формулой

$\prod\limits_{\alpha\in A}X_{\alpha}\setminus V_{\alpha}$.

Поскольку это множество пусто, пустым должен быть хотя бы один сомножитель. Это означает, что рассматриваемое покрытие при некотором $\alpha$ содержит $\pi_{\alpha}$-прообраз покрытия пространства $X_{\alpha}$. В силу компактности пространства $X_{\alpha}$, из его покрытия можно выделить конечное подпокрытие, и тогда его прообраз относительно отображения $\pi_{\alpha}$ будет конечным подпокрытием пространства X.

См. также

• Тихоновский куб

Литература

• Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.