Симметричный тензор

В математике и теоретической физике тензор называется симметричным по двум индексам i и j, если он не меняется при перестановке этих индексов:

$T_{ij\dots} = T_{ji\dots}$

Если тензор не меняется при перестановке любой пары своих индексов, то такой тензор называется абсолютно симметричным.

Симметризация и антисимметризация

Для любого тензора U, с компонентами $U_{ij\dots}$, можно построить симметричный и антисимметричный тензор по правилу:

$U_{(ij)\dots}=\frac{1}{2}(U_{ij\dots}+U_{ji\dots})$ (симметричная часть),

$U_{[ij]\dots}=\frac{1}{2}(U_{ij\dots}-U_{ji\dots})$ (антисимметричная часть).

Термин «часть» означает, что $U_{ij\dots}=U_{(ij)\dots}+U_{[ij]\dots}$

Для большего числа индексов тоже можно определить симметризацию:

$T_{(i_1i_2\dots i_r)} = \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_r} T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}\$,

обозначаемую также (для случая её проведения по всем индексам) символом $\operatorname{Sym}$:

$(\operatorname{Sym}\,T)_{i_1i_2\dots i_r} = T_{(i_1i_2\dots i_r)}\$.

Однако, для разложения тензора ранга, большего двух, оказывается недостаточно лишь абсолютно симметричного и абсолютно антисимметричного слагаемых.

Свойства

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Примеры абсолютно симметричных тензоров

• Ранга 0 — скаляр (любой),
• Ранга 1 — вектор/ковектор (любой),
• Ранга 2:
  • симметричная матрица,
  • (ковариантный) — квадратичная форма.
• Произвольного ранга n — тензорная степень n любого вектора/ковектора (лишь одна из возможностей).

Последний пример показывает, что, в отличие от антисимметричного случая, пространство симметричных тензоров будет иметь положительную размерность при сколь угодно большом числе симметризуемых индексов.

Применение

Симметричные ковариантные тензоры возникают при разложении в ряд Тейлора функции, заданной на линейном пространстве — член степени n является симметричным квантовой механике симметричный по n индексам тензор описывает n-частичное состояние бозона. Когда состояние описывается волновой функцией, волновые функции от многих переменных математически могут рассматриваться как бесконечномерные тензоры (каждый аргумент соответствует индексу). Симметричная функция удовлетворяет уравнению $\psi(x,y)=\psi(y,x)$ и аналогично для большего числа переменных.

У этой статьи нет иллюстраций. Вы можете помочь проекту, добавив их (с соблюдением правил использования изображений). Для поиска иллюстраций можно: попробовать воспользоваться инструментом FIST: нажмите эту ссылку, чтобы начать поиск; попытаться найти изображение на Викискладе; просмотреть иноязычные варианты статьи (если они есть); см. также Википедия:Источники изображений.