Кратномасштабный анализ

Кратномасштабный анализ (КМА) является инструментом построения базисов всплесков. Он был разработан в 1988/89 гг. Малла и И. Мейром. Идея кратномасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по ортогональному базису, образованному сдвигами и кратномасштабными копиями вейвлетной функции. Свертка сигнала с вейвлетами позволяет выделить характерные особенности сигнала в области локализации этих вейвлетов.

Понятие кратномасштабного анализа (КМА) является фундаментальным в теории вейвлетов. Для кратномасштабного анализа разработан быстрый каскадный алгоритм вычислений, подобный быстрому преобразованию Фурье.

Определение

При выполнении КМА пространство сигналов $L^2(\mathbb{R})$ представляется в виде системы вложенных подпространств $V_j\subset L^2(\mathbb{R}), j\in\mathbb Z,$, отличающихся друг от друга перемасштабированием независимой переменной. Таким образом, кратномасштабным анализом (КМА) в $L^2(\mathbb{R})$ называется совокупность замкнутых пространств $V_j(\mathbb{R}), j\in\mathbb Z,$ если выполнены некоторые условия.

(1) Условие вложенности:

$V_j\subset V_{j+1}$ для всех $j\in\mathbb Z$. Все пространство сигналов $L^2(\mathbb{R})$ в целом может быть представлено в виде последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств соответствующих уровней $m$ декомпозиции сигнала;

(2) Условие полноты и плотности разбиения:

$\bigcup\limits_{j\in\mathbb Z}V_j$ плотно в $L^2(\mathbb{R});$

(3) Условие ортогональности подпространств:

$\bigcap\limits_{j\in\mathbb Z}V_j={0};$

(4) Условие сохранения в подпространстве при сдвигах функций:

$f(t)\in V_j \Leftrightarrow f(t+1)\in V_j;$

(5) Масштабное преобразование любой функции $f(t)\in V_j$ по аргументу в 2 раза перемещает функцию в соседнее подпространство:

$f(t)\in V_j \Leftrightarrow f(2t)\in V_{j+1};$

$f(t)\in V_j \Leftrightarrow f(t/2)\in V_{j-1};$

(6) Существует $r(t)\in V_0$, целочисленные сдвиги которой по аргументу образуют ортонормированный базис пространства $V_0$:

$f_{0,k}(t) = f(t-k), k\in\mathbb Z .$ Функция $r(t)$ называется скейлинг-функцией (scaling function).

Свойства

Обозначим сдвиги и растяжения функции $\,f:$ $f_{k,n}(x)=2^{k/2} f(2^kx+n), k,n\in\mathbb Z.$

• Для любого $j\in\mathbb Z$ функции $\varphi_{j,n}, n\in\mathbb Z$ образуют ортонормированный базис в $\,V_j.$

• Если $f\in V_j,$ то $f(\cdot\pm 2^{-j})\in V_j, j\in\mathbb Z$.

• Функция $\varphi$ из условия (5) называется масштабирующей для данного КМА.

Построение ортогональных базисов всплесков

Пусть $\{V_j\}_{j\in\mathbb Z}$ образуют КМА. Обозначим за $\,W_j$ ортогональное дополнение к $\,V_j$ в пространстве $\,V_{j+1}.$ Тогда пространство $\,V_{j+1}$ раскладывается в прямую сумму $V_{j+1}=V_j\bigoplus W_j.$ Таким образом, проводя последовательное разложение пространств $\,V_j$ и учитывая условие (3) получим $V_{j+1}=\bigoplus\limits_{i=-\infty}^j W_i.$ А используя условие (2), имеем: $L_2(\mathbb R)=\overline{\bigoplus\limits_{j=-\infty}^{\infty}W_j}.$

Таким образом, пространство $L_2(\mathbb R)$ разложено в прямую сумму попарно ортогональных подпространств $\,W_j.$ Важным является то, что функция $\varphi$ порождает другую функцию $\psi\in W_0,$ целочисленные сдвиги которой являются ортонормированным базисом в $\,W_0.$ Построение такой $\,\psi$ может быть осуществлено при помощи следующей теоремы.

Теорема Пусть $\{V_j\}_{j\in\mathbb Z}$ — КМА с масштабирующей функцией $\varphi,$ $m_0=\frac 1 {\sqrt2}\sum\limits_{n\in\mathbb N} h_n e^{2\pi i n \xi}$ — её маска, система $\{\varphi_{0n}\}_{n\in\mathbb Z}$ является ортонормированной, $\psi:=\sum\limits_{n\in\mathbb N}(-1)^{1-n}h_{1-n}\varphi_{1n}.$ Тогда функции $\psi_{jn}, j,n\in\mathbb Z$ образуют ортонормированный базис пространства $L_2(\mathbb R).$

Многомерный КМА

В общем случае $n-$мерного пространства ортонормированный базис образует $2n-1$ функций, при помощи которых осуществляется МКА любой функции их $L^2(\mathbb{R}^n)$ пространства, при этом нормировочный множитель равен $2^{nm/2}$.

Примечания

• Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1

• Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А., Теория Всплесков, (2005), Физматлит, Москва, ISBN 5-9221-0642-2