Частные производные высших порядков

Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) $\partial f(x,y)\over\partial x$ и $\partial f(x,y)\over\partial y$, которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная ${\partial \over {\partial x}} \left({\partial f\over{\partial x}}\right)$ обозначается через ${\partial^2 f \over {\partial x^2}}$ или $f_{xx}''$, а ${\partial\over {\partial y}} \left({\partial f \over {\partial x }}\right)$ через $\partial^2 f\over{\partial y\partial x}$ или $f_{xy}''$. Таким образом,

${\partial\over{\partial x}} \left({\partial f \over{\partial x}}\right)={\partial^2 f\over{\partial x^2}}=f_{xx}''$, ${\partial\over{\partial y}} \left({\partial f \over{\partial x}}\right)={\partial^2 f\over{\partial y\partial x}}=f_{xy}''$

и, аналогично,

${\partial\over{\partial x}} \left({\partial f \over{\partial y}}\right)={\partial^2 f\over{\partial x\partial y}}=f_{yx}''$, ${\partial\over{\partial y}} \left({\partial f \over{\partial x}}\right)={\partial^2 f\over{\partial y^2}}=f_{yy}''$.

Производные $f_{xx}'', f_{xy}'', f_{yx}''$ и $f_{yy}''$ называются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка: $\partial^3 f\over{\partial x^3}$, $\partial^3 f\over{\partial y\partial x^2}$, $\partial^3 f\over{\partial y^2\partial x}$ и т. д.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Викифицировать статью. Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Добавить иллюстрации.