Координаты Леметра

Общая теория относительности

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,$

Гравитация Математическая формулировка Космология

Фундаментальные принципы Специальная теория относительности · Пространство-время · Принцип эквивалентности · Мировая линия · Псевдориманова геометрия Явления Задача Кеплера в ОТО · Гравитационное линзирование · Гравитационные волны · Увлечение инерциальных систем отсчёта · Расхождение геодезических · Горизонт событий · Гравитационная сингулярность · Чёрная дыра Уравнения Уравнения Эйнштейна · Линеаризованная ОТО · Постньютоновский формализм Развитие теории Параметризованный постньютоновский формализм · Теории типа Калуцы — Клейна · Квантовая гравитация · Альтернативные теории Решения Шварцшильда · Райсснера — Нордстрёма · Керра · Керра — Ньюмена · Гёделя · Казнера · Фридмана — Леметра — Робертсона — Уолкера Приближённые решения: Постньютоновский формализм · Ковариантная теория возмущений · Численная относительность Журналы General Relativity and Gravitation · Classical and Quantum Gravity · Гравитация и космология · Living Reviews in Relativity Известные учёные Эйнштейн · Минковский · Шварцшильд · Леметр · Эддингтон · Фридман · Робертсон · Фок · Керр · Чандрасекар · Пенроуз Хокинг и другие…

См. также: Портал:Физика

Координа́ты Леме́тра — координаты в пространстве-времени Шварцшильда, впервые полученные Жоржем Леметром в 1938 году^[1][2] при помощи преобразования координат. В этих координатах была впервые устранена координатная сингулярность на гравитационном радиусе.

Метрика Леметра

Метрика Шварцшильда в системе $c=G=1$ дана выражением:

$ds^2=\left(1-\frac{r_g}{r}\right)\,dt^2-\frac{dr^2}{1-\dfrac{r_g}{r}}-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2),$

где $ds^2$ — интервал;

• $r_g=2M$ — гравитационный радиус;
• $M$ — масса центрального тела;
• $t,\;r,\;\theta,\;\varphi$ — координаты Шварцшильда, асимптотически превращающиеся в плоские сферические координаты;
• $c$ — скорость света;
• $G$ — гравитационная постоянная.

В метрике Шварцшильда присутствует сингулярность на гравитационном радиусе при $r=r_g$.

Жорж Леметр первым указал, что эта сингулярность не является физической, а является следствием того, что стационарные координаты Шварцшильда невозможно реализовать с помощью физических тел под гравитационным радиусом. Действительно, под гравитационным радиусом все тела, включая лучи света, падают по направлению к центру и никакими силами невозможно удержать физическое тело на постоянном радиусе.

Преобразование от координат Шварцшильда $\{t,\;r\}$ к новым координатам Леметра $\{\tau,\;\rho\}$:

$\begin{cases}d\tau=dt+\sqrt{\dfrac{r_g}{r}}\dfrac{1}{1-\dfrac{r_g}{r}}\,dr; \\ d\rho=dt+\sqrt{\dfrac{r}{r_g}}\dfrac{1}{1-\dfrac{r_g}{r}}\,dr\end{cases}$

приводит к метрике Леметра:

$ds^2=d\tau^2-\frac{r_g}{r}\,d\rho^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2),$

где

$r=\left[\frac{3}{2}(\rho-\tau)\right]^{2/3}r_g^{1/3}.$

В координатах Леметра сингулярность на гравитационном радиусе, где $\frac{3}{2}(\rho-\tau)=r_g$, отсутствует. Истинная же сингулярность в центре, $\rho-\tau=0$, сохраняется.

Метрика Леметра является синхронной — тела, неподвижные в координатах Леметра, находятся в состоянии свободного падения в гравитационном поле центрального тела. Вертикально падающие тела достигают гравитационного радиуса и центра за конечное собственное время.

Вдоль траектории луча света

$dr=\left(\pm 1-\sqrt\frac{r_g}{r}\right)\,d\tau,$

поэтому никакой сигнал не может выйти за пределы гравитационного радиуса, где всегда $dr<0$, и лучи света, испущенные вертикально вверх и вниз, оба оказываются в центре.

Примечания

1. ↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — («Теоретическая физика», том II).
2. ↑ Gsponer A. More on the early interpretation of the Schwarzschild solution.

См. также

• Метрика Шварцшильда