Комбинационная логика

В теории цифровых устройств комбинационной логикой (комбинационной схемой) называют логику функционирования устройств комбинационного типа. У комбинационных устройств состояние выхода однозначно определяется набором входных сигналов. Это отличает комбинационную логику от секвенциальной логики, в рамках которой выходное значение зависит не только от текущего входного воздействия, но и от предыстории функционирования цифрового устройства. Другими словами, секвенциальная логика предполагает наличие памяти, которая в комбинационной логике не предусмотрена.

Характеристика

Комбинационная логика используется в вычислительных цепях для формирования входных сигналов и для подготовки данных, которые подлежат сохранению. На практике вычислительные устройства обычно сочетают комбинационную и секвенциальную логику. Например, компьютерное Арифметическое Логическое Устройство (АЛУ) для математических вычислений содержит комбинационные узлы. Математику комбинационной логики обеспечивает Булева алгебра. Базовыми операциями являются: конъюнкция $x\land y$, дизъюнкция $x\lor y$ и отрицание (инверсия) $\lnot x$ или $\bar{x}$. В комбинационных схемах используются логические элементы: конъюнктор (И), дизъюнктор (ИЛИ), инвертор (НЕ), а также производные элементы: И-НЕ, ИЛИ-НЕ и «Равнозначность». Наиболее известные комбинационные устройства — это сумматор, полусумматор, шифратор, дешифратор, мультиплексор и демультиплексор.

Представительские формы

Формы представления логических выражений основаны на понятиях «истина» (T – true) и «ложь» (F – false). В двоичном счислении – это соответствует значениям 1 и 0, которыми кодируются пропозициональные переменные. Выражения комбинационной логики могут быть представлены в форме таблицы истинности, либо в виде формулы булевой алгебры. Ниже показан пример таблицы истинности для трёх переменных.

$x$	$y$	$z$	Логическая формула	Результат
F	F	F	$\bar {x} \land \bar {y} \land \bar {z}$	T
F	F	T	$\bar {x} \land \bar {y} \land z$	T
F	T	F	$\bar {x} \land y \land \bar {z}$	F
F	T	T	$\bar {x} \land y \land z$	F
T	F	F	$x \land \bar {y} \land \bar {z}$	T
T	F	T	$x \land \bar {y} \land z$	F
T	T	F	$x \land y \land \bar {z}$	F
T	T	T	$x \land y \land z$	T

Таблица истинности служит основой для представления логического выражения в виде алгебраической формулы:

$x \land \bar {y} \land \bar {z} \lor x \land y \land z.$

В отличие от таблицы логическая формула способна преобразовываться по правилам булевой алгебры. Таким образом находится сокращённое выражение:

$x \land (\bar {y} \land \bar {z} \lor y \land z).$

С точки зрения комбинационной логики представленные формулы определяют одну и ту же функцию. Разница в том, что сокращённая формула позволяет реализовать соответствующую комбинационную схему в более компактном виде.

Минимизация логических формул

Минимизация (упрощение) формул комбинационной логики осуществляется по следующим правилам:

$(x \lor y) \land (x \lor z) = x \lor (y \land z), \quad (x \land y) \lor (x \land z) = x \land (y \lor z);$

$x \lor (x \land y) = x, \quad x \land (x \lor y) = x;$

$x \lor(\bar {x} \land y) = x \lor y,\quad x \land(\bar {x} \lor y) = x \land y;$

$(x \lor y)\land(\bar {x} \lor y)=y,\quad (x \land y) \lor (\bar {x} \land y)=y.$

Процедура минимизации позволяет упростить логическую функцию и, тем самым, добиться более компактной реализации комбинационных схем.

См. также

• Двоичная логика
• Секвенциальная логика
• Асинхронная логика

Литература

• Поспелов Д. А. Логические методы анализа и синтеза схем./ Изд. 3-е, перераб. и доп. — М.: Энергия, 1974. — 368с.