Задача о двух конвертах

Задача о двух конвертах (Парадокс двух конвертов) — известный парадокс, демонстрирующий как особенности субъективного восприятия теории вероятностей, так и границы её применимости. В облике двух конвертов этот парадокс предстал в конце 1980-х годов, хотя в различных формулировках известен математикам с первой половины XX века.

Формулировка

Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму $X$. В чужом конверте равновероятно может находиться $2X$ или $\frac{X}{2}$. Поэтому если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет $\left(2X+\frac{X}{2}\right)/2 = \frac54X$, то есть больше, чем сейчас. Значит, обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?

История

В 1953 году бельгийский математик Морис Крайчик предложил похожую задачу на примере двух галстуков^[1]:

Каждый из двух лиц утверждает, что его галстук красивее. Чтобы решить спор, они обращаются к третейскому судье. Победитель должен подарить побежденному свой галстук в утешение. Каждый из спорщиков рассуждает следующим образом: «Я знаю, сколько стоит мой галстук. Я могу проиграть его, но могу и выиграть более красивый галстук, поэтому в этом споре преимущество на моей стороне». Как может в одной игре с двумя участниками преимущество быть на стороне каждого из них?

Крайчик утверждает, что симметрия в игре существует, но предполагает неправомерность использования вероятности ½ при вычислении среднего дохода^[2]:

С точки зрения обоих участников спора игра симметрична и каждый имеет равную вероятность выиграть. Однако вероятность не является объективно данным фактом и зависит от знания условий задачи. В данном случае разумным является не пытаться оценивать вероятность.

Оригинальный текст  (англ.)  

From the point of view of the contestants the conditions of the game are symmetrical, so each has a probability of one-half of winning. In reality, however, the probability is not an objectively given fact, but depends upon one's knowledge of the circumstances. In the present case it is wise not to try to estimate the probability.

Задача стала популярна благодаря Мартину Гарднеру, который описал её в 1982 году под названием «Чей кошелёк толще?»^[3]. Гарднер соглашается с Крайчиком и в том, что игра «честная» (симметричная), и в том, что игра не может быть одновременно выгодной обеим сторонам, а также в том, что в рассуждении игроков кажется сомнительным:

Может ли одна и та же игра «быть выгоднее» для каждого из двух партнёров? Ясно, что не может. Не возникает ли парадокс из-за того, что каждый игрок ошибочно полагает, будто его шансы на выигрыш и проигрыш равны?

Однако Гарднер отмечает также, что подробного математического разбора задачи Крайчиком не было сделано:

к сожалению, это ничего не говорит нам о том, где именно в рассуждениях двух игроков кроется ошибка. Как мы ни бились, нам так и не удалось найти простое и удовлетворительное решение парадокса Крайчика.

В дальнейшем задача принимала названия «парадокса двух шкатулок», «парадокса двух карманов», «парадокс обмена» и т. д.

Новый интерес к парадоксу возник после публикации Барри Нейлбуфом статьи с перечнем ряда парадоксов теории вероятностей в журнале Journal of Economic Perspectives ^[4]. После получения множества откликов на эту публикацию, им была подготовлена вторая статья «Чужой конверт — всегда зеленее» («The Other Person’s Envelope is Always Greener»), посвящённая непосредственно задаче конвертов^[2]. В предложенной им формулировке имеется два конверта:

В один конверт помещается некоторая сумма денег, неизвестная для других, и этот конверт отдаётся Али. Затем скрытно подбрасывается монета. Если выпадает орёл, во второй конверт кладётся сумма в два раза большая, чем в первом. В противном случае во второй конверт кладётся сумма в два раза меньшая. Этот конверт отдаётся Бабе. Али и Баба могут открыть свои конверты, не сообщая один другому суммы которые они там видят. После этого они могут (по обоюдному согласию) обменяться конвертами.

Предположим, что Али видит в своём конверте 10 $. Али предполагает, что в конверте у Бабы равновероятно могут находиться 5 $ или 20 $. В этом случае обмен конвертами приносит Али 2,5 $ (или 25 %). Аналогично Баба считает, что в конверте Али равновероятно находится сумма в два раза меньшая или большая, чем $x$, которая находится у него. Поэтому в среднем, при обмене конвертов, он получает $(-0{,}5 x + x)/2 = 0{,}25 x$. Таким образом, Баба также ожидает получить в среднем 25 % дохода, по сравнению с суммой в своём конверте.

Однако, это является парадоксальным. Обмен конвертами не может быть выгоден обоим участникам. Где ошибка в их рассуждениях? ^[2]

Оригинальный текст  (англ.)  

{{{2}}}

Модификация Нейлбуфа условия задачи и предложенные им решения позволили многое прояснить по сути парадокса. Однако подбрасывание монетки после наполнения первого конверта заметно нарушало первоначальную симметрию капиталов игроков. При решении акцент смещался на доказательство неравноценности стартовых условий для Бабы по сравнению с Али. Поэтому в результате дальнейшей эволюции^[5], из условия задачи исчезла монетка, с помощью которой у Нейлбуфа определялось содержимое второго конверта.

На сегодняшний день наиболее широко известна и вызывает наибольший интерес у математиков идеально симметричная постановка с внешне неразличимыми конвертами, содержащими меньшую и в два раза большую суммы, причём один из конвертов можно открыть прежде, чем начать рассуждение о выгодности обмена.

Разрешение парадокса

С точки зрения Нейлбуфа^[2] первое удовлетворительное объяснение его задачи дано Санди Забеллом в статье «Убытки и доходы: парадокс обмена» ^[6]. Несколько переформулируя, Нейлбуф пишет:

Баба считает, что сумма, которую он видит, не имеет значения ввиду возможности того, что в его конверте сумма больше. Это значит, что Баба полагает, что вероятность того, что сумма в его конверте больше, составляет ½ независимо от увиденной суммы. Это верно только если каждое значение от нуля до бесконечности равновероятно. Но если всё бесконечное число возможностей равновероятно, шанс каждого значения имеет нулевую вероятность. Тогда у каждого исхода нулевой шанс. А это нонсенс.

Оригинальный текст  (англ.)  

Baba believes the amount he sees is uninformative with respect to the posterior probability his envelope contains the higher amount. That means that Baba believes that the probability his envelope contains the higher amount is ½ regardless of what amount he sees in the envelope. This is true only if every value, from zero to infinity, is equally likely. But if an infinite number of possibilities are all equally likely, the chance of any one outcome must be zero. Then every outcome has a zero chance, and this is nonsense.

Формальная аргументация

Обозначим через $f(x)$ вероятность того, что в конверте Али находится сумма x. Когда Баба наблюдает в своём конверте сумму X, условная вероятность того, что Али в своём конверте имеет 2X, равна:

$P(A=2X|B=X)=\frac{f(2X)}{f(X/2)+f(2X)}.$

В формулировке задачи Баба считает, что эта вероятность равна ½ независимо от того, какую сумму X он видит в своём конверте. Поэтому $f(X/2)=f(2X)$ для всех $X>0$. Это означает, что $f(x)$ постоянна на интервале от 0 до бесконечности. Однако, такой вероятности, равномерной на всей вещественной полуоси, быть не может. Если вероятность положительна и постоянна везде, то сумма вероятностей равна бесконечности, что невозможно. Итак, исходное предположение парадокса (равновероятность Х/2 и 2Х) нереализуемо.

См. также

• Парадокс Паррондо
• Парадокс Монти Холла
• Условная вероятность
• Формула полной вероятности
• Парадокс пари

Примечания

1. ↑ Maurice Kraitchik. La mathématique des jeux! — 1953.
2. ↑ ^{1 2 3 4} Nalebuff B. Puzzles. The Other Person’s Envelope is Always Greener (англ.) // Journal of Economic Perspectives. — 1989. — Т. 3. — № 1. — P. 171—181.
3. ↑ Гарднер М. А ну-ка, догадайся! — М.: Мир, 1984. — С. 139. — 214 с. — 100 000 экз.
4. ↑ Nalebuff B. Puzzles: Cider in Your Ear, Continuing Dilemma, The Last Shall Be First, and More (англ.) // Journal of Economic Perspectives. — 1988. — Т. 2. — № 2. — P. 149—156.
5. ↑ Mark D. McDonnell, Derek Abbott. Randomized switching in the two-envelope problem (англ.) // Proc. R. Soc. A. — 2009.
6. ↑ Zabell S. Proceedings of the Third Valencia International Meeting (англ.) // Clarendon Press, Oxford. — 1988. — P. 233–236.