- Теорема об открытом отображении
-
Теорема об открытом отображении утверждает
Линейный непрерывный оператор , отображающий банахово пространство на все банахово пространство , является открытым отображением, то есть открыто в для любого , открытого в ;
Условиям теоремы об открытом отображении удовлетворяет, например, всякий ненулевой линейный непрерывный функционал, определенный на вещественном (комплексном) банаховом пространстве со значениями в (или в ).Теорема доказана Банахом. Из неё немедленно следует теорема Банаха о гомеоморфизме:
Непрерывный линейный оператор , отображающий взаимно однозначно банахово пространство на банахово пространство , является гомеоморфизмом, т.е. ― также линейный непрерывный оператор.
Обобщения
Теорема об открытом отображении допускает следующее обобщение:
Непрерывный линейный оператор, отображающий совершенно полное топологическое векторное пространство на бочечное пространство , есть открытое отображение.
См. также
Для улучшения этой статьи желательно?: - Проставить интервики в рамках проекта Интервики.
- Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категории:- Теоремы
- Функциональный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.