Число сочетаний

Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Явные формулы

Число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту

${n\choose k} = C_n^k = \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}.$

При фиксированном n производящей функцией последовательности чисел сочетаний ${n\choose 0}$, ${n\choose 1}$, ${n\choose 2}$, … является:

$\sum_{k=0}^n {n\choose k} x^k = (1+x)^n.$

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний является

$\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^n {n\choose k} x^k y^n = \sum_{n=0}^{\infty} (1+x)^n y^n = \frac{1}{1-y-xy}.$

Сочетания с повторениями

Сочетанием с повторениями называются наборы, в которых каждый элемент может участвовать несколько раз.

Число сочетаний с повторениями из n по k равно биномиальному коэффициенту

${n+k-1\choose k} = (-1)^k {-n\choose k}.$

При фиксированном значении n производящей функцией чисел сочетаний с повторениями из n по k является:

$\sum_{k=0}^n (-1)^k {-n\choose k} x^k = (1-x)^{-n}.$

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний с повторениями является:

$\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k {-n\choose k} x^k y^n = \sum_{n=0}^{\infty} (1-x)^{-n} y^n = \frac{1-x}{1-x-y}.$

Ссылки

• Р. Стенли Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990.
• Вычисление числа сочетаний онлайн