Чехстоунова компактификация

В общей топологии компактификация — операция, которая преобразует произвольные топологические пространства в компактные.

Формально компактификация пространства X определяется как пара $(Y,\;f)$, где Y компактно, $f:X \to Y$ гомеоморфизм на свой образ f(X) и f(X) плотно в Y.

На компактификациях некоторого фиксированного пространства X можно ввести частичный порядок. Положим $f_1 \leqslant f_2$ для двух компактификаций $f_1: X \to Y_1$, $f_2: X \to Y_2$, если существует непрерывное отображение $g: Y_2 \to Y_1$ такое, что gf₂ = f₁. Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна — Чеха^[1] и обозначается βX. Для того, чтобы у пространства X существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, достаточно, чтобы X удовлетворяло аксиоме отделимости $T_{3\frac{1}{2}}$.

Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть $Y=X \cup \{\infty\}$ и открытыми множествами в Y считаются все открытые множества X, а также множества вида $O \cup \{\infty\}$, где $O \subseteq X$ имеет компактное (в X) дополнение. f берётся как естественное вложение X в Y. $(Y,\; f)$ тогда компактификация, причём Y хаусдорфово тогда и только тогда, когда X хаусдорфово и локально компактно.

Примеры одноточечной компактификации

$\R \cup \{\infty\}$ с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Не трудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соотвествующие одноточечные компактификации гомеоморфны. В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с $\R$ (пример гомеоморфизма — стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с $\R \cup \{\infty\}$. Аналогично, $\mathbb R^n \cup \{\infty\}$ гомеоморфно c n-мерной гиперсферой.

Примечания

1. ↑ Также «стоунчеховская компактификация» и «чехстоунова компактификация».