Сходимость почти всюду

У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость.

Последовательность функций схо́дится почти́ всю́ду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру.

Определение

Пусть $(X,\mathcal{F},\mu)$ пространство с мерой, и $f_n, f:X \to \mathbb{R},\; n \in \mathbb{N}$. Говорят, что $\{f_n\}$ сходится почти всюду, и пишут $f_n \to f$ $\mu$-п.в., если

$\mu \left(\{x \in X \mid \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) \not= f(x)\}\right) = 0$.

Терминология теории вероятностей

Если $(X,\mathcal{F},\mu) = (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ есть вероятностное пространство, и $Y_n,Y$ — случайные величины, такие что

$\mathbb{P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim\limits_{n \to \infty} Y_n(\omega) = Y(\omega)\}\right) = 1$,

то говорят, что последовательность $\{Y_n\}$ схо́дится почти́ наве́рное к $Y$.

Свойства сходимости п.в.

• Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду (почти наверное).
• Пусть $f_n \in L^p(X,\mathcal{F},\mu)\; \forall n \in \mathbb{N}$, где $1 \le p < \infty$, и $\{f_n\}$ сходится почти всюду к $f$. Пусть также существует функция $g\in L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ такая, что $|f_n(x)|\leq |g(x)|$ для всех $n$ и почти всех $x\in X$ (суммируемая мажоранта). Тогда $f \in L^p(X,\mathcal{F},\mu)$, и $f_n \to f$ в $L^p$. Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в $L^p$. Например, последовательность функций $n\chi_{[0,1/n]}$ сходится к 0 почти всюду на $[0,1]$, но не сходится в $L^1[0,1]$.
• Сходимость почти всюду (почти наверное) влечёт сходимость по мере (по вероятности).

См. также

• Почти всюду

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.