- Функциональная последовательность
-
Содержание
Функциональная последовательность
Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве включенном в d-мерное евклидово пространство .
Поточечная сходимость
Числовая последовательность сходится поточечно к числовой последовательности , если .
Равномерная сходимость
Существует функция такая, что:
Факт равномерной сходимости последовательности к функции записывается:
Критерий Коши равномерной сходимости
Функциональный ряд
— n-ная частичная сумма.
В этом разделе всё происходит на множестве
Поточечная сходимость
Последовательность сходится поточечно.
Равномерная сходимость
Последовательность сходится равномерно.
Необходимое условие равномерной сходимости
Критерий Коши равномерной сходимости
Критерий Коши для последовательности .
Абсолютная сходимость
Ряд сходится.
Признаки равномерной сходимости
Признак сравнения
Ряд сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:
- Ряд сходится равномерно.
Признак Вейерштрасса
Ряд сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:
- Числовой ряд сходится.
Признак Дирихле
Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:
- Последовательность действительнозначных функций монотонна и
- Частичные суммы ряда равномерно ограничены.
Признак Абеля
Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:
- Последовательность действительнозначных функций равномерно ограничена и монотонна .
- Ряд равномерно сходится.
Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов
Теоремы о непрерывности
Рассматривается комплекснозначные функции на множестве
Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.
- Последовательность
- функция непрерывна в точке
- Тогда непрерывна в .
Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.
- Ряд
- функция непрерывна в точке
- Тогда непрерывна в .
Теоремы об интегрировании
Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.
Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.
- функция непрерывна на отрезке
- на
- Тогда
Теорема о почленном интегрировании.- функция непрерывна на отрезке
- на
- Тогда
Теоремы о дифференцировании
Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.
Теорема о дифференцировании под пределом.
- функция непрерывна дифференцируема на отрезке
- сходится
- на отрезке
- Тогда - непрерывно дифференцируема на , на
Теорема о почленном дифференцировании.
- функция непрерывно дифференцируема на отрезке
- сходится
- равномерно сходится на отрезке
- Тогда - непрерывно дифференцируема на , на
Ссылки
- О.В.Бесов Лекции по математическому анализу Ч. 1. — М.: МФТИ, 2004. — 327 с. Глава 16 Функциональные последовательности и ряды
Wikimedia Foundation. 2010.