Теорема Блоха

Теорема Блоха — важная теорема физики твёрдого тела, устанавливающая вид волновой функции частицы, находящейся в периодическом потенциале. Названа в честь швейцарского физика Феликса Блоха. В одномерном случае эту теорему часто называют теоремой Флоке.

Формулировка теоремы

Строгая формулировка

Собственные состояния одноэлектронного гамильтониана

$\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\mathbf{r}),$

где потенциал U(r) периодичен по всем векторам R решётки Бравэ, могут быть выбраны таким образом, чтобы их волновые функции имели форму плоской волны, умноженной на функцию, обладающую той же периодичностью, что и решётка Бравэ:

$\psi_{n\mathbf{k}} = e^{i\mathbf{kr}}u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}),$ где $u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}+\mathbf{R}) = u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}),$

для всех R, принадлежащих решётке Бравэ. Индекс n называют номером зоны. Его появление связано с тем, что при произвольном фиксированном волновом векторе частицы k, система может иметь много независимых собственных состояний.

Пояснения к формулировке

В теореме рассматривается идеальный бесконечный кристалл. Это означает, что в нём отсутствуют дефекты и он обладает трансляционной симметрией. При дальнейшем построении теории, нарушения периодичности решётки обычно считаются малыми возмущениями. Кроме того, в реальном кристалле электроны взаимодействуют между собой, что должно отразиться на гамильтониане системы добавлением соответствующего члена. В формулировке теоремы, однако, используется приближение невзаимодействующих электронов, что позволяет рассматривать одночастичный гамильтониан.

См. также

• Блоховская волна
• Частица в периодическом потенциале
• Одноэлектронное приближение

Литература

• Н. Ашкрофт, Н. Мермин. Физика твёрдого тела. Том 1. Глава 8.

Для улучшения этой статьи желательно?: Викифицировать статью. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации. Викифицировать список литературы, используя шаблон {{книга}}, и проставить ISBN.