Одноэлектронное приближение

Одноэлектронное приближение - приближенный метод нахождения волновых функций и энергетических состояний квантовой системы со многими электронами. В основе одноэлектронного приближения лежит предположение, что квантовую систему можно описать как систему отдельных электронов, движущихся в усредненном потенциальном поле, которое учитывает взаимодействие как с ядрами атомов, так и с другими электронами. Волновая функция многоэлектронных системы в одноэлектронном приближении выбирается в виде детерминанта Слейтера определенного набора функций, зависящих от координат одной частицы. Эти функции являются собственными функциями одноэлектронного гамильтониана с усредненным потенциалом. В идеале потенциал, в котором движутся электроны должен быть самосогласованным. Чтобы достичь этой цели используют итерационную процедуру, например, метод Хартри — Фока. Однако часто систему описывают модельным потенциалом.

Числа заполнения

Одноэлектронных гамильтониан в общем случае имеет вид

$\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V(\mathbf{r})$,

где $V(\mathbf{r})$ - усредненный потенциал. Спектр волновых функций гамильтониана определяется решениями уравнения

$\hat{H} \psi_i = E_i \psi_i$,

где i - индекс для нумерации этих функций. Для построения волновой функции многоэлектронных системы с N электронами можно выбрать N любых функций или N суперпозиций этих функций, однако учитывая принцип запрета Паули все они должны быть разными.

Основному состоянию квантовой системы соответствует набор из N функций, для которых одноэлектронных энергии $E_i$ минимальна. Полная энергия основного состояния системы определяется суммой одноэлектронных энергий

$E = \sum_{i= 1}^N E_i$

Волновая функция многоэлектронных системы конструируется из волновых функций $\psi_i$ с учетом требования антисиметричности по перестановок. В основном это делается с использованием детерминанта Слетера. Используя операторы рождения эту волновую функцию можно представить в виде

$\psi = \hat{a}_1^\dagger \hat{a}_2^\dagger \ldots \hat{a}_N^\dagger |0\rangle$

Волновую функцию возбужденного состояния можно построить, выбрав вместо одной из собственных функций одноэлектронного гамильтониана с наименьшей энергией любую другую функцию. В общем, если выбрать произвольный набор одноэлектронных волновых фунций, то волновую функцию многоэлектронных ситемы можно характеризовать набором индексов одноэлектронных функций: $|i_1, i_2, \ldots, i_n \rangle$, или же считать, что некоторые из одноэлектронных состояний заполнены, а некоторые нет. Присваивая заполненным состояниям число 1, а незаповнемы - 0, можно построить бесконечную цепочку единиц и нулей, характеризующий состояние многоэлектронных системы. Такая цепочка называется представлением чисел заполнения.

В статистической физике волновая функция многоэлектронной системы не может быть определена точно. Состояние системы смешанное и описывается матрицей плотности, которая удовлетворяет распределению Ферми-Дирака.

Значения

Одноэлектронного приближения широко используется в квантовой химии и теории твердого тела. В частности, на нем основывается зонная теория.